随机误差

定义与判别

对同一被测量在相同条件下进行多次重复测量，若绝对误差的绝对值和符号以不可预定的方式随机变化，但总体呈现一定统计规律，这类误差称为随机误差（Random Error）。其判别特征是：在系统误差已被消除或减小到可忽略的程度后，测量数据仍不稳定。

随机误差由测量过程中许多独立的、微小的、偶然的因素综合引起，来源一般难以逐一把握和控制，主要包括：测量装置内部的机械摩擦、变形及电路随机噪声；外部环境的温度、湿度、气压、磁场、地面震动等波动；测量者读数时机、方式和感官生理变化等人为因素。这些因素数量多、未知、对测量值影响微小。

统计特征

在常见的零均值、独立、同分布且方差有限的误差模型下，随机误差具有以下统计特征：

• 单峰性：误差概率密度在均值附近取单一峰值；
• 有界性：在给定置信水平下误差落在有限区间内（正态模型本身无界，严格有界性并非普遍成立）；
• 对称性：误差分布关于均值对称时，绝对值相等、符号相反的误差出现概率相等；
• 抵偿性：在误差零均值且相互独立（或至少不相关）的模型下，相同条件重复测量的样本平均误差依概率趋于 0；未经归一化的误差总和一般不趋于 0。

正态分布描述

当形成单次误差的大量独立微小贡献满足中心极限定理条件时，单次随机误差可用正态分布近似描述，概率密度函数为

其中 $\delta =x-L$ 为随机误差，$x$ 为测量值，$L$ 为真值或数学期望，$\sigma$ 为标准差。曲线为钟形，关于 $\delta =0$ 对称，峰值在 $\delta =0$ 处。

其理论依据是李雅普诺夫中心极限定理：若一个随机变量是若干独立随机变量之和，当相加个数趋于无穷大时，其概率密度近似高斯密度。测量中随机误差由大量相互独立、均值为 0 的微小作用引起，故近似服从 $\delta \sim N(0,{\sigma }^2)$。

数字特征

真值 $L$ 不可得时，用算术平均值代替：

各测量值与算术平均值之差为残余误差 $v_i=x_i-\bar{x}$。标准差的估计值由贝塞尔公式给出：

分母取 $n-1$ 是因为 $n$ 个残余误差中只有 $n-1$ 个独立。$\sigma$ 反映分布范围：$\sigma$ 越小，曲线越陡峭，分散性越小，精度越高；$\sigma$ 越大，曲线越平坦，分散性越大。

算术平均值的标准差为

$n$ 增大时 ${\sigma }_{\bar{x}}$ 按 $1\mathrm{/}\sqrt{n}$ 减小，精度提高，但下降速度随 $n$ 增大而变慢，不能单靠无限增加测量次数提高精度；测量次数应由所需不确定度、统计模型和成本共同确定，不存在 $n=5\sim 10$ 的通用最优值。

特定情形下的均匀分布

并非所有随机误差都服从正态分布。仪器度盘或齿轮回差产生的误差、平衡指示器因调零不准产生的误差，只有在假定误差在区间 $[a,b]$ 内等可能、无偏好取值时，才可建模为均匀分布：概率密度在区间 $[a,b]$ 内为常数 $1\mathrm{/}(b-a)$，区间外为 0；固定偏置不能仅凭来源自动判定为均匀分布。

削弱方法

当无法进行多次等精度测量时（如动态轨道测量，轨道状态时刻变化，不能重复等精度测量），可采用卡尔曼滤波等信号处理方法削弱随机数据噪声。滤波结果表现为原始数据的剧烈波动被平滑曲线贯穿其波动中心。

与精度的关系

随机误差的大小表明测量结果重复一致的程度，即分散性，用精密度表示。随机误差大，测量结果分散，精密度低；随机误差小，重复性好，精密度高。精密度只反映随机误差影响，与反映系统误差影响的准确度是不同概念：精密度高不代表准确度高，准确度高也不代表精密度高；精确度则综合反映两者。

贝塞尔分母修正使样本方差无偏，样本标准差本身一般并不无偏；有限样本计算所得均方根是估计量，不能与未知总体参数直接恒等。均值标准误差 $s\mathrm{/}\sqrt{n}$ 是独立同分布条件下的估计；均值趋于真值还需误差零均值。正态总体已知标准差时可用正态区间，未知标准差且小样本时均值区间应使用相应t分布系数，不能直接把1σ、3σ覆盖概率当作任意小样本的严格置信概率。