辛钦大数定理

定理的数学表述

设随机变量序列 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 相互独立、同分布，且数学期望 $E(X_i)=\mu$ 存在且有限（$i=1,2,\dots$）。记样本均值

则对任意给定的 $\epsilon >0$，有

即 ${\bar{X}}_n$ 依概率收敛于 $\mu$，记作 ${\bar{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu$。

条件与适用范围

定理成立需要三个条件同时满足：

1. 相互独立：各次测量的随机误差互不影响；
2. 同分布：各次测量处于相同条件（等精度测量），误差服从同一分布；
3. 数学期望存在且有限：$E(X_i)=\mu$ 为有限常数。

定理不要求方差存在，也不要求具体分布形式（如正态分布），这是它比切比雪夫大数定理条件更宽之处。

在测量误差中的含义

在等精度测量中，第 $i$ 次测量结果可写为

其中 $A_0$ 为被测量的真值，${\delta }_i$ 为第 $i$ 次测量的随机误差。通常随机误差的数学期望为零，即 $E({\delta }_i)=0$。

$n$ 次测量的算术平均值为

记随机误差的算术平均为 $\bar{\delta }=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{\delta }_i$。当 ${\delta }_i$ 独立同分布且期望为零时，由辛钦大数定理，$\bar{\delta }$ 依概率收敛于 $0$。于是 $\bar{x}$ 依概率收敛于真值 $A_0$。

结论的准确表述

• 收敛方式是依概率收敛，不是必然收敛：对任意小的 $\epsilon >0$，$n$ 足够大时 的概率趋于 $1$，但不排除个别样本均值偏离较大的可能。
• 定理只保证 $n\to \mathrm{\infty }$ 的极限行为，实际测量中 $n$ 只能取有限值，因此平均值只是对真值的近似。
• 该方法的前提是允许多次重复测量；对不可重复或破坏性测量不适用。
• 随机误差的期望为零是应用该定理削弱随机误差的关键前提；若存在显著系统误差，平均不能消除它。