贝塞尔公式

定义与用途

在等精度多次测量中，被测量的真值 $L$ 通常未知，只能用测量值的算术平均值 $\bar{x}$ 代替。各测量值与算术平均值的差值称为残余误差（残差）：

其中 $x_i$ 为第 $i$ 次测量值，$\bar{x}$ 为 $n$ 次测量值的算术平均值，$v_i$ 为第 $i$ 个残差。由残差计算标准差估计值的公式即贝塞尔公式：

式中 $n$ 为测量次数，${\sigma }_s$ 为单次测量标准差的样本估计，与被测量同量纲。

分母修正的原因

若真值 $L$ 已知，随机误差为 ${\delta }_i=x_i-L$，其标准差估计为

分母为 $n$。但真值未知时改用 $\bar{x}$，残差满足一个约束：

即 $n$ 个残差中只有 $n-1$ 个独立，剩下一个可由其余残差确定。同时，由于 $\bar{x}$ 是使残差平方和最小的中心，恒有

独立同分布且方差有限时，用 $n$ 作分母的残差平方均值会低估总体方差。改用 $n-1$ 使样本方差无偏，开根得到的样本标准差 ${\sigma }_s$ 一般仍有偏。

与算术平均值标准差的关系

多次测量以算术平均值作为测量结果。算术平均值的标准差 ${\sigma }_{\bar{x}}$ 与单次测量标准差估计值 ${\sigma }_s$ 的关系为

${\sigma }_s$ 不变时，$n$ 增大则 ${\sigma }_{\bar{x}}$ 减小，算术平均值更接近真值。但 ${\sigma }_{\bar{x}}$ 随 $n$ 按 $1\mathrm{/}\sqrt{n}$ 下降，$n$ 较大后（如 $n>10$）下降很慢，故不能单靠无限增加测量次数提高精度。测量次数需根据精度目标、测量值间的相关性以及测量成本综合确定，不存在普适的适宜次数范围。

适用范围

贝塞尔公式适用于等精度、相互独立的多次测量；使样本方差无偏只需各次测量独立同分布且方差有限，并不要求随机误差服从正态分布，正态分布是进行特定区间推断时的附加条件。它给出的是单次测量标准差的样本估计。数据中若含显著系统误差而未修正，贝塞尔公式给出的分散估计不能表征总误差，但共同固定偏差不改变样本方差的分散估计，因此并不因存在未修正系统误差而禁止使用贝塞尔公式。

贝塞尔分母修正使样本方差无偏，样本标准差本身一般并不无偏；有限样本计算所得均方根是估计量，不能与未知总体参数直接恒等。均值标准误差 $s\mathrm{/}\sqrt{n}$ 是独立同分布条件下的估计；均值趋于真值还需误差零均值。正态总体已知标准差时可用正态区间，未知标准差且小样本时均值区间应使用相应t分布系数，不能直接把1σ、3σ覆盖概率当作任意小样本的严格置信概率。