残余误差

定义

在等精度多次测量中，设第 i 次测量值为 xi，n 次测量的算术平均值为 x̄。各测量值与算术平均值之差称为残余误差（残差），记为
vi = xi − x̄
单位为与被测量相同的单位。

与随机误差的区别

测量值与真值 A0（或 L）之差 δi = xi − A0 是总测量误差；只有在已消除或修正系统误差（偏差）等条件下，它才可视为纯随机误差。真值通常未知，因此实际计算中只能用 x̄ 代替 A0，得到的是残余误差 vi，而不是真正的随机误差 δi。二者不可混同：δi 以真值为参照，vi 以算术平均值为参照。

基本性质

由算术平均值的定义 x̄ = (1/n)Σxi 可得
Σvi = Σ(xi − x̄) = Σxi − nx̄ = 0
即 n 个残余误差之和恒为零。因此 n 个残余误差中只有 n−1 个独立，最后一个可由其余 n−1 个确定。这一约束是贝塞尔公式分母取 n−1 的原因。

用残余误差估计标准差（贝塞尔公式）

当以真值 A0 计算时，若 A0 等于总体期望且样本为有限样本，则 √( Σ(xi − A0)² / n ) 是有限样本均方根，不等于未知总体标准差；当真值不等于期望时还含偏差。由于 A0 未知，用 x̄ 代替后，离差平方和满足
Σ(xi − x̄)² ≤ Σ(xi − A0)²
直接以 n 为分母会低估方差。为此引入样本方差的无偏估计量
s² = Σvi² / (n − 1) = Σ(xi − x̄)² / (n − 1)
其平方根
σs = √( Σvi² / (n − 1) ) = √( Σ(xi − x̄)² / (n − 1) )
该式称为贝塞尔公式。n−1 修正使样本方差无偏，即 E(s²) = σ²；而样本标准差 σs 一般是有偏的，不满足 E(σs) = E(σ)。规则可概括为：括号内为随机误差（减真值）时分母取 n；括号内为残差（减平均值）时分母取 n−1。

算术平均值的标准差

若在相同条件下进行 m 组各 n 次测量，各组算术平均值 x̄1, x̄2, …, x̄m 仍围绕真值波动，其分散程度用算术平均值的标准差 σx̄ 表示：
σx̄ = σs / √n
n 增大时 σx̄ 减小，测量精度提高；但当 n 超过一定数目后 σx̄ 下降变慢，故测量次数需依据目标标准误差、数据相关性及成本确定，不存在普适的 n = 5～10 充分规则。测量结果常表示为
x = x̄ ± σx̄
该区间覆盖概率 P = 0.6827 仅在正态模型、已知总体标准差且满足适当无偏条件时成立；用样本标准差估计且为小样本时需改用 t 系数。

残余误差在系统误差检验中的应用

残余误差按测量顺序排列后，其大小和符号的变化规律可用于判断系统误差。

• 残余误差观察法：若残差按顺序呈递增趋势，可能存在线性系统误差；若呈周期性变化，可能存在周期性系统误差。
• 马利科夫准则：将按测量顺序排列的残差分为前后两组（n 为偶数取 k=n/2，n 为奇数取 k=(n+1)/2），分别求和并作差 M。若 M≈0，只能说明未发现累进系统误差趋势，不能证明不存在系统误差；若 M 接近或大于单个残差量级，判定存在累进系统误差；若 0<M<vi，则不能确定。带符号 M 与 vi 的比较需结合噪声尺度或显著性水平。
• 阿贝准则：计算

A = v1² + v2² + … + vn²
B = (v1 − v2)² + (v2 − v3)² + … + (vn−1 − vn)² + (vn − v1)²
若 |B/(2A) − 1| > 1/√n，则可能存在变化的系统误差。

• 阿卑-赫梅特准则（用于周期性系统误差）：计算相邻残差乘积之和的绝对值

A = |Σ(i=1 到 n−1) vi·vi+1|
若 A > √(n−1)·(RMSE)²，则提示可能存在周期性误差，其中 RMSE 为均方根误差。相邻残差相关并不唯一证明周期，该阈值还需规定噪声水平及误判率。

残余误差在最小二乘法中的作用

最小二乘法要求所求解使残余误差二次方和最小：
min Σvi²
在线性情形下，残余误差方程用矩阵表示为
L − AX = V
其中 L 为测量值矩阵，A 为系数矩阵，X 为待求估计值矩阵，V 为残余误差矩阵。由极值条件可得
X = (AᵀA)⁻¹AᵀL
该式需 A 列满秩；否则需用广义逆或其他处理。残余误差二次方和最小意味着在给定模型与观测下标准差估计值最小、测量值分散性最小、精度最高，但不保证模型正确、无偏或拟合线最接近真值。