最小二乘直线拟合

定义与残差

设拟合直线方程为

其中 $x$ 为自变量（如被测量或输入量），$y$ 为因变量（如传感器输出），$k$ 为斜率，$b$ 为截距。对第 $i$ 个校准数据点 $(x_i,y_i)$，$i=1,2,\dots ,n$，残差定义为观测值与拟合直线上相应值之差：

残差是沿 $y$ 方向的垂直偏差，可正可负，单位为 $y$ 的单位。

最小二乘准则

最小二乘法要求选取 $k$ 和 $b$，使全部观测点的残差平方和最小：

采用残差平方而非残差绝对值或残差代数和，是因为平方和恒非负、对正负残差同等惩罚，且对 $k$、$b$ 可微，便于解析求极值。

偏导求系数

记目标函数

令 $Q$ 对 $k$ 和 $b$ 的一阶偏导数等于零：

整理得正规方程组：

（以上求和均对 $i=1$ 到 $n$。）解此二元一次方程组即得 $k$ 和 $b$ 的表达式。当各 $x_i$ 不全相同（数据点不共竖直线）时，解唯一。

在传感器静态特性中的位置

最小二乘法拟合是传感器静态特性中基准线拟合的重点方法。静态特性包括线性度、灵敏度、分辨率、灵敏限、迟滞、重复性、漂移、精度等指标，其中线性度等指标需要一条基准直线作为参照，最小二乘直线即常用基准线之一。

界面操作示意

在 Excel 中，将 $x$、$y$ 两列数据选中后插入散点图；在数据系列上右键选择“添加趋势线”，进入“设置趋势线格式”，选择线性趋势线并勾选“显示公式”，即可在图中输出拟合得到的直线公式。

斜率与截距能够唯一确定的条件是输入点不全相同，即 $n{\sum }_i{x}_i^2-({\sum }_i{x}_i{)}^2>0$。