静态特性线性化

线性化的目的与定义

传感器的静态特性是稳态信号作用下不含时间变量的输入-输出关系。理想情况下输出与输入应成线性关系，这有助于简化理论分析、数据处理、制作标定和测试。但实际特性大多存在非线性，当非线性项方次不高、输入变化范围不大时，可用一条直线近似代表实际曲线的一段，这一过程称为非线性特性的线性化，所用直线称为拟合直线。

非线性误差（线性度）指标

实际特性曲线与拟合直线之间的偏差称为非线性误差。取最大偏差的绝对值与输出满量程之比作为线性度指标：

其中 ${\gamma }_{\mathrm{L}}$ 为非线性误差（线性度指标），$\mathrm{\Delta }{L}_{\max }$ 为最大非线性绝对误差，$Y_{\mathrm{F}\mathrm{S}}$ 为输出满量程（Full Scale，FS）。该指标越小，说明实际特性越接近所选拟合直线。

基准线拟合方式

端点连线拟合：直接连接零点输出与满量程输出两个端点作为基准线，然后读图确定实际曲线相对该直线的最大偏差。

端点连线平移拟合：在端点连线基础上平移直线，使正负方向的最大偏差等幅，即满足 $\mathrm{\mid }{\mathrm{\Delta }}_{L1}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\mathrm{\Delta }}_{L2}\mathrm{\mid }={\mathrm{\Delta }}_{L\max }$，从而减小最大偏差的绝对值。

过零旋转拟合：适用于特性曲线过零的传感器。以过原点的直线为基准，旋转该直线使两侧最大偏差绝对值相等，即 ${\mathrm{\Delta }}_{L1}=\mathrm{\mid }{\mathrm{\Delta }}_{L2}\mathrm{\mid }={\mathrm{\Delta }}_{L\max }$。

最小二乘法拟合：设拟合直线方程为 $y=kx+b$，第 $i$ 个校准数据与拟合直线上相应值之间的残差定义为

最小二乘法寻找系数 $k$ 和 $b$，使全部观测点的残差平方和最小：

求解时令残差平方和对 $k$ 和 $b$ 的一阶偏导数等于零，建立方程组解出 $k$ 和 $b$。

奇偶非线性项与差动改善

传感器特性曲线可用多项式表示：

其中偶次项（如 $a_2{x}^2$）是引起非线性的主要原因。当多项式仅含偶次项（即 $a_1=0$ 且所有奇次项系数为零）时，曲线关于 $y$ 轴对称；当零位项 $a_0=0$ 且多项式仅含奇次项时，曲线关于原点对称。若同时含一次项与偶次项，则整体一般不再具有关于 $y$ 轴的对称性；非零零位项会移动对称中心。采用差动传感器可尽可能消除偶次项，从而改善线性度。

适用范围

上述线性化方法适用于非线性项方次不高、输入量变化范围不大的场合。不同拟合方式得到的基准线不同，因此同一实际特性对应的线性度指标也不同，评价时须说明所采用的拟合方式。

最小二乘目标记为 $Q(k,b)={\sum }_i[y_i-(k{x}_i+b){]}^2$，对斜率 $k$ 和截距 $b$ 求偏导并令其为零，得到 ${\sum }_i{x}_i[y_i-(k{x}_i+b)]=0$ 与 ${\sum }_i[y_i-(k{x}_i+b)]=0$。这里 $x_i,y_i$ 是输入与输出测量点；当输入点不全相同时，两式确定拟合直线。