差动变极距型电容式传感器

基本结构与电容量

变极距型平板电容器的电容量在不计边缘效应时为

其中 $A$ 为两平行极板覆盖面积，$d$ 为极板间距，$\epsilon$ 为极板间介质介电常数，${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ 为相对介电常数，${\epsilon }_0$ 为真空介电常数，单位分别为 ${\mathrm{m}}^2$、$\mathrm{m}$、$\mathrm{F}\mathrm{/}\mathrm{m}$、无量纲、$\mathrm{F}\mathrm{/}\mathrm{m}$。当被测位移使极距变化时，$C$ 随 $d$ 变化，这就是变极距型电容式传感器的工作基础。

单边变极距的非线性

设初始极距为 $d_0$，初始电容为 $C_0=\epsilon A\mathrm{/}{d}_0$。当动极板位移 $x$ 使极距变为 $d_0-x$ 时，

在 时展开为

可见单边变极距型的电容变化量中除线性项外还含二次、三次等高次项，输出与位移不是严格线性关系。位移越大，高次项贡献越大，非线性越严重。

差动结构

差动变极距型电容式传感器由两个电容 $C_1$、$C_2$ 组成，动极板位移 $x$ 使一侧极距减小、另一侧极距增大：

取两电容之差为输出量，并除以 $C_0$，得

其中 $\mathrm{\Delta }C=C_1-C_2$。当 $x\mathrm{/}{d}_0\ll 1$ 时，可近似为

即差动输出的相对变化量与位移近似成正比。

偶次项抵消与灵敏度

比较单边与差动展开式可见：单边展开含 $x\mathrm{/}{d}_0$ 的一次、二次、三次等项；差动差值展开中二次项及所有偶次项相消，只保留一次项和三次、五次等奇次项。因此差动结构消除了偶次非线性项，使非线性误差显著减小。

差动结构的相对灵敏度为

单位为 ${\mathrm{m}}^{-1}$。与单边变极距型相对灵敏度 $1\mathrm{/}{d}_0$ 相比，差动结构灵敏度提高了一倍。

位移限制与防击穿

差动变极距型电容式传感器一般要求最大位移小于极板原始距离的 $1\mathrm{/}10$，以保证 $x\mathrm{/}{d}_0\ll 1$，使高次项可忽略、近似线性成立。若位移过大，极板间距过小，电场强度过高可能击穿极板间介质。实际中可在极板间加云母片等绝缘材料，提高耐压能力，防止击穿。

改善非线性的其他途径

除采用差动结构外，还可增大极板原始间距 $d$。在 $\mathrm{\Delta }d\mathrm{/}d\ll 1$ 条件下，单边电容变化量近似为 $\mathrm{\Delta }C\approx C_0(\mathrm{\Delta }d\mathrm{/}d)$，增大 $d$ 可使 $\mathrm{\Delta }d\mathrm{/}d$ 更小，从而改善近似线性。但 $d$ 增大会使 $C_0$ 减小，导致灵敏度下降，因此 $d$ 不能取得过大。通常 $\mathrm{\Delta }d$ 取 $(1\mathrm{/}10\sim 1\mathrm{/}5)d$。差动结构则在改善非线性的同时不损失灵敏度，反而使灵敏度提高一倍，是更优的方案。

位移上限应由允许非线性误差、极板安全间隙及耐压共同确定，1/10只是小位移示例，不是所有结构统一限值。