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核心第5章 · 电容式传感器

变极距电容灵敏度与线性范围分析

一句话看懂

变极距电容传感器在位移远小于初始极距时近似线性，减小极距可提高灵敏度但缩小线性范围并增加击穿风险，采用差动结构可使相对输出近似为 2x/d₀ 并抵消偶次非线性项。

基本结构与电容关系

平行板电容器的电容量为

C = \frac{ε S}{d}

其中 $ε$ 为极板间介质的介电常数（单位 F/m）， $S$ 为极板有效正对面积（单位 m²）， $d$ 为极板间距即极距（单位 m）， $C$ 的单位为 F。变极距式电容传感器保持 $ε$ 与 $S$ 不变，使动极板位移改变 $d$ ，从而把位移转换为电容变化。

设初始极距为 $d_{0}$ ，动极板位移为 $x$ ，则实际极距为 $d_{0} - x$ ，电容为

C = \frac{ε S}{d_{0} - x} = \frac{ε S}{d_{0} (1 - \frac{x}{d_{0}})}

泰勒展开与线性近似

将上式按 $x / d_{0}$ 作泰勒展开：

C = \frac{ε S}{d_{0}} [1 + \frac{x}{d_{0}} + {(\frac{x}{d_{0}})}^{2} + {(\frac{x}{d_{0}})}^{3} + \dots]

当 $x ≪ d_{0}$ 时，忽略 $x / d_{0}$ 的高次项，只保留首项，得到

C \approx \frac{ε S}{d_{0}} (1 + \frac{x}{d_{0}}) = C_{0} + \frac{ε S}{d_{0}^{2}} x

其中 $C_{0} = ε S / d_{0}$ 为初始电容。此时 $C$ 与 $x$ 近似成线性关系，线性度高。

灵敏度及其与极距的矛盾

单侧变极距的灵敏度定义为电容变化量与位移变化量之比：

K = \frac{Δ C}{Δ d} \approx \frac{ε S}{d_{0}^{2}}

可见 $K$ 与 $d_{0}^{2}$ 成反比。减小初始极距 $d_{0}$ 可显著提高灵敏度，但会带来两个后果：一是 $x / d_{0}$ 相对增大，高次项不能忽略，线性范围缩小、非线性误差增大；二是极距过小使极板移动平稳性变差，且极板间电场强度增大，容易发生击穿。因此灵敏度的提高与线性范围、耐压能力之间存在矛盾。

差动结构

为改善非线性，采用差动结构：两个电容 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 由同一动极板带动，一侧极距减小、另一侧极距增大，分别为

C_{1} = \frac{ε S}{d_{0} - x}, C_{2} = \frac{ε S}{d_{0} + x}

两者之差为

Δ C = C_{1} - C_{2} = \frac{ε S}{d_{0} - x} - \frac{ε S}{d_{0} + x} = \frac{2 ε S x}{d_{0}^{2} - x^{2}}

除以 $C_{0} = ε S / d_{0}$ ，得相对变化量

\frac{Δ C}{C_{0}} = \frac{2 x / d_{0}}{1 - (x / d_{0})^{2}}

当 $x ≪ d_{0}$ 时，分母近似为 1，于是

\frac{Δ C}{C_{0}} \approx \frac{2 x}{d_{0}}

差动结构的灵敏度为

K = \frac{Δ C}{x} = \frac{2 C_{0}}{d_{0}} = \frac{2 ε S}{d_{0}^{2}}

即相对灵敏度为 $2 / d_{0}$ 。差动方式中两侧电容一增一减，偶次项在相减时相互抵消，因此非线性误差显著减小，线性范围比单侧结构宽，同时灵敏度约为单侧的两倍。

位移限制与耐压措施

为保证近似线性，一般最大位移应小于极板初始距离的 $1 / 10$ ，即 $x < d_{0} / 10$ 。极距不能过小，否则极板移动不平稳并易击穿；空气的击穿电场强度约为 3 kV/mm（即约 3 MV/m），该值只是毫米级均匀间隙的粗略估计，实际击穿场强受气压、间隙距离和电极形状影响，微小间隙不能直接沿用。为改善耐压性能，可在极板间加装云母片或塑料膜等绝缘薄片，其击穿电压高于空气，从而允许更小的极距以提高灵敏度。

测试

基础测试

基础测试统一使用选择题，先确认概念、定义和关键判断是否扎实。

选择题

变极距电容传感器在位移远小于初始极距时，电容与位移近似成什么关系？

选择题

关于变极距电容传感器减小初始极距 $d_{0}$ 的影响，下列说法正确的是？

选择题

差动变极距电容结构中，两侧电容相减后偶次项抵消，其相对变化量近似为？

知识关联

前置知识

电容量差动式传感器静态灵敏度小量一阶近似与泰勒线性化

当前知识变极距电容灵敏度与线性范围分析

后续知识

桥式测量电路直流电桥差动变极距型电容式传感器

基本信息

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资料来源 (2)

传感器与检测技术第4版 · 第5章 · 原文字行3201–3243、3291–3355电容传感器课件 · 原页9/10/51/52/53/54/55