小量一阶近似与泰勒线性化

定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内具有 $n+1$ 阶导数，则在该邻域内可将其展开为泰勒公式

其中余项 $R_n$ 为 $\mathrm{\Delta }x$ 的 $n+1$ 阶及以上小量。当 $\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }x\mathrm{\mid }$ 足够小、使高阶项相对一阶项可忽略时，取

称为小量一阶近似或线性化。其几何含义是用点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线代替曲线，局部斜率 $K=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$ 即线性化系数。

必要关系与常用展开

由泰勒公式可直接得到两个常用一阶近似。对 ${\displaystyle \frac{1}{1-u}}$，取 $f(u)=(1-u{)}^{-1}$，在 $u=0$ 处 $f(0)=1$、$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1$，故

对 ${\displaystyle \frac{1}{1+x}}$，同理 $f(x)=(1+x{)}^{-1}$，$f(0)=1$、$f^{\mathrm{\prime }}(0)=-1$，故

更一般地，对含小参数 $\epsilon$ 的幂级数

保留到一阶即得 $1-\epsilon$，其余项构成截断误差。

截断误差与适用条件

一阶近似的截断误差由被忽略的首个高阶项主导。对 ${\displaystyle \frac{1}{1+\epsilon }}$，截断误差约为 ${\epsilon }^2$，相对误差量级为 $\mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }$。因此适用条件为

且要求被忽略项相对保留项足够小。工程上常以 $\mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }$ 小于某一给定阈值（如 ${10}^{-2}$ 或更小）作为可用判据；$\mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }$ 越接近 1，高阶项贡献越大，一阶近似失效。

在差动结构中的意义

若两路输出分别为 $1+\epsilon$ 与 $1-\epsilon$ 形式，则相减后高阶项相互抵消，剩余误差为 $\epsilon$ 的三阶及以上量级，线性度显著优于单边结构。这是差动测量相对单边测量非线性误差更小的数学根源。

符号与条件

• $x_0$：展开点；$\mathrm{\Delta }x$：小增量，满足 $\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }x\mathrm{\mid }$ 远小于函数特征尺度。
• $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$：一阶导数，即线性化斜率。
• $R_n$：余项，决定截断误差量级。
• $\epsilon$：无量纲小参数，$\mathrm{\mid }\epsilon \mathrm{\mid }\ll 1$。

使用一阶近似时须同时满足：函数在展开点邻域内可导；小量相对特征尺度足够小；被忽略的高阶项不因后续运算被放大。