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核心第5章 · 电容式传感器

单组与差动变极距电容特性比较

一句话看懂

单组变极距电容输出含偶次非线性项，差动结构用两电容一增一减的差值抵消偶次项，使相对变化量近似为 2x/d₀、灵敏度加倍并改善非线性。

单组变极距电容的基本关系

平行板电容器的电容为

C = \frac{ε S}{d}

其中 $ε$ 为极板间介质的介电常数（单位 F/m）， $S$ 为极板有效正对面积（单位 m²）， $d$ 为极板间距（单位 m）， $C$ 的单位为 F。

设初始极距为 $d_{0}$ ，对应初始电容 $C_{0} = ε S / d_{0}$ 。当动极板位移 $x$ 使极距变为 $d_{0} - x$ 时，单组电容为

C = \frac{ε S}{d_{0} - x} = \frac{C_{0}}{1 - x / d_{0}}

在 $x / d_{0} ≪ 1$ 条件下展开：

C = C_{0} [1 + \frac{x}{d_{0}} + {(\frac{x}{d_{0}})}^{2} + {(\frac{x}{d_{0}})}^{3} + \dots]

相对变化量为

\frac{Δ C}{C_{0}} = \frac{x}{d_{0}} + {(\frac{x}{d_{0}})}^{2} + {(\frac{x}{d_{0}})}^{3} + \dots

可见单组结构除线性项 $x / d_{0}$ 外，还含二次、三次等项，输出与位移之间不是严格线性关系。

差动变极距结构

差动结构由两个电容 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 组成，位移 $x$ 使一侧极距减小为 $d_{0} - x$ ，另一侧增大为 $d_{0} + x$ ：

C_{1} = \frac{ε S}{d_{0} - x}, C_{2} = \frac{ε S}{d_{0} + x}

取两电容之差为输出量，并除以 $C_{0}$ 归一化：

\frac{Δ C}{C_{0}} = \frac{C_{1} - C_{2}}{C_{0}} = \frac{1}{1 - x / d_{0}} - \frac{1}{1 + x / d_{0}}

展开后

\frac{Δ C}{C_{0}} = 2 [\frac{x}{d_{0}} + {(\frac{x}{d_{0}})}^{3} + {(\frac{x}{d_{0}})}^{5} + \dots]

在 $x / d_{0} ≪ 1$ 时取首项，得

\frac{Δ C}{C_{0}} \approx \frac{2 x}{d_{0}}

即差动输出近似为线性，灵敏度

K = \frac{Δ C / C_{0}}{x} = \frac{2}{d_{0}}

单位为 1/m。与单组结构灵敏度 $1 / d_{0}$ 相比，差动结构灵敏度提高一倍。

偶次项的抵消与非线性改善

单组结构的相对变化量展开式中，二次项 $(x / d_{0})^{2}$ 是主要非线性来源。差动结构中 $C_{1}$ 的展开含 $+ x / d_{0}$ 、 $+ (x / d_{0})^{2}$ 、 $+ (x / d_{0})^{3}$ 等项， $C_{2}$ 的展开含 $- x / d_{0}$ 、 $+ (x / d_{0})^{2}$ 、 $- (x / d_{0})^{3}$ 等项。两者相减时，偶次项（二次、四次……）符号相同而相消，奇次项（一次、三次……）符号相反而叠加。因此差动输出的误差项从单组的二次项起步变为三次项起步，非线性显著减小。

差动结构的总变化量可写为

Δ C = Δ C_{1} - Δ C_{2} = 2 C_{0} \frac{Δ d}{d} [1 + {(\frac{Δ d}{d})}^{2} + {(\frac{Δ d}{d})}^{4} + \dots]

其中 $Δ d$ 即位移 $x$ 。该式表明：差动输出保留线性主项，误差项为 $Δ d / d$ 的偶次高阶项，阶数由单组的二次提升为三次起步。

位移限制与防击穿

变极距电容传感器一般要求最大位移小于极板原始距离的 $1 / 10$ ，即 $x < d_{0} / 10$ ，以保证 $x / d_{0} ≪ 1$ 的近似条件成立，使线性化处理有效。

极距减小时极板间电场增强，存在击穿风险。可在极板间放置云母片等绝缘材料防止极板击穿，同时云母片也起到限制极板最小间距、防止动极板过度位移的作用。

增大极距改善线性的代价

在 $Δ d / d ≪ 1$ 条件下，单组电容变化量可近似为

Δ C = C_{0} \frac{Δ d}{d}

增大初始极距 $d$ 可使 $Δ d / d$ 更小，从而改善近似线性程度。但 $C_{0} = ε S / d$ 随 $d$ 增大而减小，灵敏度 $1 / d$ 随之下降。因此 $d$ 不能取得过大。通常取 $Δ d$ 为 $(1 / 10 \sim 1 / 5) d$ ，但该比例对应的是允许非线性误差较宽、近似线性要求可放宽的场合；若按前文 $x < d_{0} / 10$ 的小位移近似条件，则应取 $Δ d \leq d / 10$ 。仅由 $Δ d / d$ 的比例不能确定绝对位移范围，还需给出初始极距 $d$ 的具体数值；例如 $d$ 取数十微米至数毫米量级时， $Δ d$ 才对应相应的微米至毫米范围。

适用范围与前提

差动结构灵敏度加倍、偶次项抵消的结论，建立在以下前提之上：

两电容初始参数相同，即初始极距均为 $d_{0}$ 、极板面积与介质相同，初始电容均为 $C_{0}$ ；
输出取两电容之差（差值输出），而非单端输出；
位移 $x$ 满足 $x / d_{0} ≪ 1$ ，一般要求 $x < d_{0} / 10$ ；
忽略边缘效应，认为电容严格由 $ε S / d$ 描述。

若上述前提不满足，例如两电容初始值不一致或位移过大，则偶次项不能完全抵消，线性化近似失效。

测试

基础测试

基础测试统一使用选择题，先确认概念、定义和关键判断是否扎实。

选择题

差动变极距电容结构取两电容之差为输出，其相对变化量在 $x / d_{0} ≪ 1$ 时近似为

选择题

关于差动变极距电容结构对非线性的改善，下列说法正确的是

选择题

变极距电容传感器中放置云母片的主要作用之一是

知识关联

前置知识

电容量差动测量抵消偶次项的分析差动变极距型电容式传感器等位环

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基本信息

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资料来源 (2)

传感器与检测技术第4版 · 第5章 · 原文字行3201–3240、3291–3355电容传感器课件 · 原页9/10/51/53/54