电容器边缘效应

基本工作原理

电容式传感器将非电量的变化转换为电容量的变化。常见结构有平板型和圆筒型。

平板电容器：忽略边缘效应时，电容量为

其中 $A$ 为极板覆盖面积（单位：m²），$d$ 为极板间距（单位：m），$\epsilon$ 为极板间介质的介电常数，${\epsilon }_0$ 为真空介电常数（${\epsilon }_0=\frac{{10}^{-9}}{36\pi }\mathrm{F}\mathrm{/}\mathrm{m}\approx 8.85\times {10}^{-12}\mathrm{F}\mathrm{/}\mathrm{m}$），${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ 为相对介电常数（无量纲）。

圆筒电容器：忽略边缘效应时，电容量为

其中 $l$ 为内外极板覆盖高度（单位：m），$R$ 和 $r$ 分别为外极板半径和内极板半径（单位：m）。

根据被测量的变化，电容式传感器分为三类：变面积型（$A$ 或 $l$ 变化）、变介质型（${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ 变化）和变极距型（$d$ 变化）。

边缘效应及其影响

实际电容器极板边缘的电场分布不均匀，存在边缘效应。边缘效应导致：

• 电场分布不均匀，使有效面积或有效间距偏离理想值；
• 灵敏度降低；
• 产生非线性，即使对于变面积型和变介质型传感器，理想线性关系也会被破坏。

变极距型传感器本身存在原理上的非线性，边缘效应引起的非线性与其方向相反，在一定程度上可起补偿作用，但总体上仍导致灵敏度下降。

变极距型传感器的非线性与灵敏度

初始极距为 $d_0$ 时，初始电容 $C_0=\frac{\epsilon A}{d_0}$。当极距变化 $\mathrm{\Delta }d$ 时，电容相对变化量为

当 $\mathrm{\Delta }d\ll d_0$ 时，近似线性：

灵敏度定义为 $K=\frac{\mathrm{\Delta }C\mathrm{/}{C}_0}{\mathrm{\Delta }d}$。近似线性条件下 $K\approx \frac{1}{d_0}$；精确关系为 $K=\frac{1}{d_0-\mathrm{\Delta }d}$，即灵敏度与当前极距成反比。

保留到二次项，相对非线性误差为

因此，为减小非线性误差，应限制 $\mathrm{\Delta }d\ll d_0$。

改善非线性的方法

1. 采用容抗输出：以容抗 $X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{d}{\omega \epsilon S}$ 作为输出量，则 $X_C$ 与极距 $d$ 成线性关系，且无需满足 $\mathrm{\Delta }d\ll d$ 的条件。其中 $\omega$ 为激励角频率（单位：rad/s），$S$ 为极板面积（单位：m²）。
2. 差动结构：采用差动电容，使灵敏度提高，非线性得到改善。
3. 减小边缘效应：

• 减小极间距，使电极直径或边长与间距之比很大，但间距过小易产生击穿并限制测量范围；
• 采用等位环结构，改善电场分布，使极板间形成均匀电场。

设计要点

在规定的量程、温度和压力范围内，追求低成本、高精度、高分辨率、稳定可靠及高频率响应。具体包括：

• 减小环境温湿度变化的影响，保证绝缘材料的绝缘性能；
• 消除和减小边缘效应；
• 消除和减小寄生电容的影响，防止和减少外界干扰；
• 尽可能采用差动式电容传感器。

使用电容式传感器时需注意：减小环境温度、湿度变化；减小边缘效应；减少寄生电容；使用屏蔽电极并接地；注意漏电阻、激励频率和极板支架材料的绝缘性。低频工作时，电容阻抗大，电感和电阻影响可忽略，等效电路为两个并联电容与漏电阻再并联；高频工作时，漏电阻可忽略，但电感和电阻影响不可忽略，等效电路为电感、电阻和两个并联电容三者串联。激励频率较低时，漏电阻将降低灵敏度，因此需选用较高电源频率，一般为 50 kHz 到几兆赫。

这里 $K=(\mathrm{\Delta }C\mathrm{/}{C}_0)\mathrm{/}\mathrm{\Delta }d=1\mathrm{/}(d_0-\mathrm{\Delta }d)$ 是相对于初始工作点的割线灵敏度。当前位置的局部相对灵敏度为 $d(C\mathrm{/}{C}_0)\mathrm{/}d(\mathrm{\Delta }d)=d_0\mathrm{/}(d_0-\mathrm{\Delta }d{)}^2$，两者只在小位移近似下都接近 $1\mathrm{/}{d}_0$。