圆筒电容式传感器

基本结构与电容量公式

圆筒电容式传感器由两个同轴金属圆筒构成，内圆筒半径为 $r$，外圆筒半径为 $R$，内外圆筒相互覆盖的高度为 $l$，极板间介质的相对介电常数为 ${\epsilon }_r$，真空介电常数为 ${\epsilon }_0$。忽略边缘效应时，其电容量为：

式中，$C$ 的单位为法拉（F），${\epsilon }_0$ 的单位为法拉每米（F/m），$l$、$R$、$r$ 的单位均为米（m）。该式表明，电容量与覆盖高度 $l$ 成正比，与内外半径比的自然对数成反比。

变面积型（变覆盖高度）

当内外圆筒沿轴向相对移动时，覆盖高度 $l$ 发生变化，而介质和半径比保持不变。设初始覆盖高度为 $l_0$，对应初始电容 $C_0=\frac{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r{l}_0}{\ln (R\mathrm{/}r)}$。当动筒移动 $\mathrm{\Delta }l$ 时，覆盖高度变为 $l=l_0+\mathrm{\Delta }l$，电容变化量为：

可见，$\mathrm{\Delta }C$ 与 $\mathrm{\Delta }l$ 呈线性关系，灵敏度 $S=\frac{\mathrm{\Delta }C}{\mathrm{\Delta }l}=\frac{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}{\ln (R\mathrm{/}r)}$ 为常数。这种结构常用于测量线位移。

变介质型（液位测量）

圆筒电容式传感器用于液位测量时，圆筒总高度为 $H$，液位高度为 $h$。液体介质的介电常数为 ${\epsilon }_1$（或相对介电常数 ${\epsilon }_{r1}$），空气的介电常数为 $\epsilon$（或相对介电常数 ${\epsilon }_{r0}$）。此时，传感器可视为两个电容并联：

• 下部浸入液体部分，高度为 $h$，介质为液体，电容 $C_1=\frac{2\pi {\epsilon }_{1}h}{\ln (R\mathrm{/}r)}$；
• 上部暴露在空气中部分，高度为 $H-h$，介质为空气，电容 $C_2=\frac{2\pi \epsilon (H-h)}{\ln (R\mathrm{/}r)}$。

总电容 $C=C_1+C_2=\frac{2\pi }{\ln (R\mathrm{/}r)}[{\epsilon }_{1}h+\epsilon (H-h)]=\frac{2\pi }{\ln (R\mathrm{/}r)}[\epsilon H+({\epsilon }_1-\epsilon )h]$。

令初始电容（$h=0$ 时）$C_0=\frac{2\pi \epsilon H}{\ln (R\mathrm{/}r)}$，则：

因此，总电容 $C$ 与液位高度 $h$ 呈线性关系。灵敏度 $S=\frac{\mathrm{\Delta }C}{\mathrm{\Delta }h}=\frac{2\pi ({\epsilon }_1-\epsilon )}{\ln (R\mathrm{/}r)}$，与液体和空气的介电常数之差成正比。

差动结构

采用差动形式可提高灵敏度并减小非线性。例如，将两个圆筒电容式传感器组合，一个覆盖高度增加，另一个减少，通过差动电路输出差值，可抵消共模干扰，改善线性度。

适用范围与条件

上述公式均基于忽略边缘效应的假设，适用于内外圆筒半径比 $R\mathrm{/}r$ 不过大、覆盖高度远大于间隙的场合。实际应用中，边缘效应会导致灵敏度降低和非线性，需通过保护环等措施减小。