变介质型电容式传感器

定义与分类

变介质型电容式传感器是指保持极板面积S和极板间距d不变，通过改变极板间介质的介电常数ε（或介质分布）使电容量C发生变化的传感器。依据平行板电容公式 C = ε₀ε_r S / d，其中ε₀为真空介电常数（单位F/m），ε_r为相对介电常数（无量纲），S为极板有效面积（m²），d为极板间距（m）。不同介质的相对介电常数不同，例如空气≈1、聚乙烯2.26、硅油2.7、云母6~8.5等，因此介质改变即可引起电容改变。

按介质在极板间的分布方式，变介质型电容式传感器分为两类结构：

• 串联型：介质沿极板间距方向分层，相当于两个电容串联。
• 并联型：介质沿极板面积方向并排分布，相当于两个电容并联。

平板结构——串联型

两极板间总间距为 d₀ + d₁，其中厚度为d₁的部分填充相对介电常数为ε₁的介质，厚度为d₀的部分为空气（ε_r≈1）。等效为两个电容C₁（介质部分）和C₂（空气部分）串联：

C₁ = ε₀ε₁A / d₁， C₂ = ε₀A / d₀

总电容：

C = C₁C₂ / (C₁ + C₂) = ε₀ε₁A / (ε₁d₀ + d₁)

未加入介质ε₁时的初始电容（全空气）：

C₀ = ε₀A / (d₀ + d₁)

电容改变量：

ΔC = C − C₀ = C₀ · (ε₁ − 1) / (ε₁ d₀/d₁ + 1)

可见串联型平板结构的ΔC与介质相对介电常数ε₁成非线性关系。

平板结构——并联型

两极板间同一间距d，但面积分为A₁（填充ε₁）和A₂（空气）两部分，等效为两个电容并联：

C₁ = ε₀ε₁A₁ / d， C₂ = ε₀A₂ / d

总电容：

C = C₁ + C₂ = ε₀(ε₁A₁ + A₂) / d

初始电容（全空气，A = A₁ + A₂）：

C₀ = ε₀A / d

电容改变量：

ΔC = C − C₀ = ε₀A₁(ε₁ − 1) / d

可见并联型平板结构的ΔC与介质相对介电常数ε₁成线性关系。

圆筒结构——液位测量

圆筒结构变介质型电容式传感器用于测量液位。内筒外径d，外筒内径D，总高度H，液面高度h。被测液体相对介电常数ε₁，空气ε_r≈1。忽略边缘效应，圆筒电容公式为 C = 2πε₀L / ln(D/d)，其中L为圆筒有效长度。

液面以上空气部分电容：

C₁ = 2πε₀(H − h) / ln(D/d)

液面以下液体部分电容：

C₂ = 2πε₀ε₁h / ln(D/d)

总电容为两部分并联：

C = C₁ + C₂ = 2πε₀(H − h) / ln(D/d) + 2πε₀ε₁h / ln(D/d)

整理得：

C = 2πε₀H / ln(D/d) + 2πhε₀(ε₁ − 1) / ln(D/d) = C₀ + 2πhε₀(ε₁ − 1) / ln(D/d)

其中初始电容（未注入液体）：

C₀ = 2πε₀H / ln(D/d)

电容改变量：

ΔC = C − C₀ = 2πhε₀(ε₁ − 1) / ln(D/d)

可见ΔC与液位高度h成线性关系，也与介质相对介电常数ε₁成线性关系。

介质插入位移转换——并联平板结构

在平板电容器极板间插入一块厚度与极板间距相同、相对介电常数为ε_r2的固体介质，插入深度为L，极板总长度为L₀，宽度为b₀，极板间距为d₀。初始状态（L=0，全空气，ε_r1=1）：

C₀ = ε₀L₀b₀ / d₀

插入介质后，总电容由空气部分和介质部分并联组成：

C = ε₀(L₀ − L)b₀ / d₀ + ε₀ε_r2 Lb₀ / d₀

电容相对变化量：

ΔC / C₀ = (ε_r2 − 1) · L / L₀

可见电容相对变化量与插入深度L成线性关系。

线性与非线性总结

• 并联型平板结构（介质并排插入）：ΔC与ε₁成线性关系。
• 圆筒结构（液位测量，相当于并联）：ΔC与液位h及ε₁成线性关系。
• 串联型平板结构（介质分层）：ΔC与ε₁成非线性关系。

上述结论均在忽略边缘效应的条件下成立。实际中边缘效应会引起电力线泄漏，使电场分布不均匀，导致变介质型传感器也存在一定非线性，但比变极距型弱很多。

符号说明

• ε₀：真空介电常数，单位F/m
• ε_r、ε₁、ε_r2：相对介电常数，无量纲
• S、A、A₁、A₂：极板有效面积，单位m²
• d、d₀、d₁：极板间距或介质层厚度，单位m
• C：电容量，单位F
• C₀：初始电容量，单位F
• ΔC：电容改变量，单位F
• h：液位高度，单位m
• H：圆筒总高度，单位m
• L：介质插入深度，单位m
• L₀：极板总长度，单位m
• b₀：极板宽度，单位m
• D：外筒内径，单位m
• d：内筒外径，单位m
• ln：自然对数