平板电容式传感器

定义与基本关系

平板电容式传感器由两块平行金属极板及极板间介质构成。在不考虑边缘效应、极板间电场近似均匀的理想条件下，其电容量由极板几何尺寸和介质介电常数决定：

式中：$C$ 为电容量，单位 F（常用 pF）；$S$ 为两平行极板所覆盖的面积，单位 ${\mathrm{m}}^2$；$d$ 为两极板间距离，单位 m；$\epsilon$ 为极板间介质的介电常数，单位 F/m；${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ 为介质的相对介电常数（无量纲）；${\epsilon }_0$ 为真空介电常数，${\epsilon }_0=\frac{{10}^{-9}}{36\pi }\mathrm{F}\mathrm{/}\mathrm{m}\approx 8.85\times {10}^{-12}\mathrm{F}\mathrm{/}\mathrm{m}$。

该式是电容的决定式，说明电容大小由极板相对覆盖面积、极板间距和介质共同决定。它与电容的定义式 $C=Q\mathrm{/}U$（$Q$ 为极板带电量，$U$ 为极板间电压）不同：定义式给出电容的度量含义，决定式给出电容与结构参数的关系。传感器正是利用决定式，把结构参数或介质参数的变化转换为电容量的变化。

三种类型

由 $C=\epsilon S\mathrm{/}d$ 可见，当被测参数变化引起 $S$、${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ 或 $d$ 变化时，电容量随之变化。实际使用中通常保持其中两个参数不变，只改变其中一个，把该参数的变化转换成电容量的变化，再经测量电路转换为电量输出。据此，平板电容式传感器分为三种类型：

• 变面积型：改变极板覆盖面积 $S$；
• 变介质型：改变极板间介质的介电常数 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}$；
• 变极距型：改变极板间距离 $d$。

变面积型

保持 $d$ 和 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ 不变，使动极板相对定极板平移或转动，改变两极板的有效覆盖面积 $S$。以平板直线位移为例，极板宽度为 $b$，初始覆盖长度为 $a$，则初始电容 $C_0=\epsilon ab\mathrm{/}d$；当动极板沿长度方向移动 $\mathrm{\Delta }x$ 时，覆盖面积改变 $b\mathrm{\Delta }x$，电容变化量为

即 $\mathrm{\Delta }C$ 与位移 $\mathrm{\Delta }x$ 成线性关系，灵敏度 $K=\mathrm{\Delta }C\mathrm{/}\mathrm{\Delta }x=\epsilon b\mathrm{/}d$ 为常数。变面积型常用于测量角位移和线位移相关量。

变介质型

保持极板几何尺寸不变，改变极板间介质的介电常数或介质分布。常见形式有两种：

• 并联型（平板或圆筒结构）：被测介质与原有介质沿垂直于电场的方向并排分割有效面积，两区承受相同电压，相当于两个电容器并联，电容改变量与被测介质的相对介电常数成线性关系；
• 串联型（平板结构）：被测介质与原有介质沿电场方向层叠，相当于两个电容器串联，电容改变量与被测介质的介电常数成非线性关系。

以圆筒结构测液位为例，内外极板半径分别为 $r$ 和 $R$，液位高度为 $h$，液体相对介电常数为 ${\epsilon }_1$，则电容改变量为

$\mathrm{\Delta }C$ 与液位高度 $h$ 成线性关系。变介质型常用于测量液位、料位、介质成分等。

变极距型

保持 $S$ 和 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ 不变，使动极板因被测参数改变而位移，改变极板间距。设初始极板间距为 $d_0$，初始电容为

当极板间距缩小 $\mathrm{\Delta }d$ 时，电容增大为

由此可得

可见 $C=f(d)$ 是非线性关系：即使相同的极板间距改变量 $\mathrm{\Delta }d$，在不同工作点引起的电容变化量也不同，曲线斜率（灵敏度）随工作点变化。

当 $\mathrm{\Delta }d\mathrm{/}{d}_0\ll 1$ 时，按泰勒级数展开并忽略高次项，可得近似线性关系：

此时灵敏度 $K=\mathrm{\Delta }C\mathrm{/}\mathrm{\Delta }d\approx C_0\mathrm{/}{d}_0={\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{r}}S\mathrm{/}{d}_0^2$。可见较小的 $d_0$ 可获得更大的电容变化量，提高灵敏度；但 $d_0$ 过小容易引起电容器击穿或短路，可在极板间加入高介电常数材料（如云母），此时相当于云母和空气介质两个电容器的串联。

理想均匀电场条件与适用范围

上述公式均在不考虑边缘效应的前提下成立，即要求极板间电场近似均匀、极板边缘的电场畸变可忽略。边缘效应会使灵敏度降低并产生非线性，应尽量减小或消除。变极距型的线性化公式 $\mathrm{\Delta }C\approx C_0\mathrm{\Delta }d\mathrm{/}{d}_0$ 仅在 $\mathrm{\Delta }d\mathrm{/}{d}_0\ll 1$ 的小位移范围内适用；超出该范围须按非线性关系处理。