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核心第5章 · 电容式传感器

差动电容式传感器

一句话看懂

差动电容式传感器用两个电容一增一减，使差值输出近似线性、灵敏度加倍，并抑制共模干扰。

基本结构与差动原理

差动电容式传感器由两个电容 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 组成，通常共用中间动极板，与上下（或左右）两个定极板分别构成电容。设初始极距为 $d_{0}$ ，动极板位移为 $x$ ，则两侧极距分别变为 $d_{0} - x$ 和 $d_{0} + x$ ，对应

C_{1} = \frac{ε S}{d_{0} - x}, C_{2} = \frac{ε S}{d_{0} + x}

其中 $ε$ 为极板间介质的介电常数（单位 F/m）， $S$ 为极板有效面积（单位 m²）， $d_{0}$ 为初始极距（单位 m）， $x$ 为位移（单位 m）。

差值输出与偶次项抵消

两电容之差为

Δ C = C_{1} - C_{2} = ε S (\frac{1}{d_{0} - x} - \frac{1}{d_{0} + x}) = ε S \frac{2 x}{d_{0}^{2} - x^{2}}

初始电容 $C_{0} = ε S / d_{0}$ ，故

Δ C = 2 C_{0} \frac{x}{d_{0}} \cdot \frac{1}{1 - (x / d_{0})^{2}}

当 $x / d_{0} ≪ 1$ 时，展开为

Δ C = 2 C_{0} \frac{x}{d_{0}} [1 + {(\frac{x}{d_{0}})}^{2} + {(\frac{x}{d_{0}})}^{4} + \dots]

单侧变极距电容的相对变化为 $Δ C / C_{0} \approx x / d_{0}$ ，含偶次非线性项；差动后差值中只保留奇次项，偶次项被抵消，因此非线性显著改善。

相对灵敏度

在小位移近似下，差值相对变化为

\frac{Δ C}{C_{0}} \approx \frac{2 x}{d_{0}}

故差动结构的相对灵敏度为

K = \frac{2}{d_{0}}

与单侧结构相比，灵敏度提高一倍。

位移限制与防击穿

为保证小位移近似成立、将非线性误差限制在可接受范围，位移绝对值一般应满足 $∣ x ∣ < d_{0} / 10$ 。该条件只约束近似线性与非线性误差，不能普遍保证避免静电吸合或击穿；是否吸合或击穿还取决于机械刚度、所加电压和极板间介质。实际中可在极板间加云母片等绝缘介质，提高耐压能力，防止极板击穿。

测量电路中的差动输出

在变压器式交流电桥中，两臂为差动电容 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ ，另两臂为变压器二次绕组阻抗的一半。负载阻抗极大时，输出电压为

{\dot{U}}_{o} = \frac{C_{1} - C_{2}}{C_{1} + C_{2}} \frac{{\dot{U}}_{i}}{2}

若 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 为变极距型，代入后得

{\dot{U}}_{o} = \pm \frac{Δ d}{d_{0}} \frac{{\dot{U}}_{i}}{2}

可见输出电压与位移成线性关系。

在二极管双T型交流电桥中， $R_{1} = R_{2} = R$ ， $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 为差动电容，输出电压近似为

U_{o} \approx K E f (C_{1} - C_{2})

其中 $E$ 为电源方波幅值， $f$ 为电源频率， $K$ 为与 $R$ 、 $R_{L}$ 有关的系数。输出与电容差值成正比。

在脉冲宽度调制电路中， $R_{1} = R_{2} = R$ ，两电容充电至参考电压 $U_{r}$ 的时间分别为

T_{1} = R C_{1} \ln \frac{U_{A}}{U_{A} - U_{r}}, T_{2} = R C_{2} \ln \frac{U_{A}}{U_{A} - U_{r}}

输出直流电压与电容差和比 $(C_{1} - C_{2}) / (C_{1} + C_{2})$ 成正比；仅当电容和固定时，才与电容差值成正比。

设计要点

差动技术的运用可同时实现：减小非线性误差、提高灵敏度、减小寄生电容影响、抑制温度湿度等环境因素引起的共模变化。设计时需在给定温压条件下，权衡量程、成本、精度、分辨率、稳定性和频响，并注意环境绝缘、边缘效应和寄生电容。

符号与单位

$C_{1}, C_{2}$ ：电容，单位 F； $ε$ ：介电常数，单位 F/m； $S$ ：极板面积，单位 m²； $d_{0}$ ：初始极距，单位 m； $x$ 或 $Δ d$ ：位移，单位 m； $Δ C$ ：电容差，单位 F； $C_{0}$ ：初始电容，单位 F； $K$ ：灵敏度，单位 1/m； $E$ ：电源幅值，单位 V； $f$ ：频率，单位 Hz； $R, R_{L}$ ：电阻，单位 Ω； $U_{r}$ ：参考电压，单位 V。

差动灵敏度加倍须以相同几何、激励和归一化方式比较电容差；读出电路的实际电压灵敏度不能仅凭单电容或差动分类统一排序。共模抑制依赖两臂匹配，供电波动仍须稳幅或归一化。PWM充电支路使用相同电阻、相同高电平和阈值时，平均双极性输出为 $U_{o} = U_{1} (C_{1} - C_{2}) / (C_{1} + C_{2})$ 。电路增益系数与相对位移灵敏度应使用不同符号和单位。

测试

基础测试

基础测试统一使用选择题，先确认概念、定义和关键判断是否扎实。

选择题

差动变极距电容式传感器中，动极板位移 $x$ 使一侧间隙变为 $d_{0} - x$ 、另一侧变为 $d_{0} + x$ 。当 $x / d_{0} ≪ 1$ 时，电容差 $Δ C = C_{1} - C_{2}$ 的相对变化量 $Δ C / C_{0}$ 近似为

选择题

关于差动电容式传感器的位移限制与防击穿，下列说法正确的是

选择题

在变压器式交流电桥中，两臂为差动电容 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ ，负载阻抗极大时输出电压正比于

知识关联

前置知识

电容器边缘效应二极管双T型交流电桥介电常数差动式传感器差动测量法 RC充电时间常数

当前知识差动电容式传感器

后续知识

差动变极距型电容式传感器差动变面积型电容式传感器寄生电容二极管双T型交流电桥电容式厚度传感器电容式传感器测量电路

基本信息

引用本卡（4）

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资料来源 (2)

传感器与检测技术第4版 · 第5章 · 原文字行3295–3336、3623电容传感器课件 · 原页10、54、56、60、83