RC充电时间常数

电容信号转换的三条路径

电容传感器的输出是电容变化，要得到数字信号，课件给出三种基本转换路径：

1. 复阻抗法：电容的复阻抗为 $Z=\frac{1}{j\omega C}$，其中 $j$ 为虚数单位，$\omega$ 为角频率（单位 rad/s），$C$ 为电容（单位 F）。将电容接入电路，把阻抗变化转换为电压 $U$，再经 ADC 转换为数字量。
2. LC 振荡电路法：振荡频率 $f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$，其中 $L$ 为电感（单位 H），$C$ 为电容（单位 F），$f$ 为频率（单位 Hz）。通过测量频率得到电容值。
3. 充放电时间法：基于电容充放电时间 $\tau =RC$，其中 $R$ 为电阻（单位 Ω），$C$ 为电容（单位 F），$\tau$ 为时间常数（单位 s）。通过测量充放电时间得到电容值。

指数充电与阈值到达时间

在直流电压 $U_1$ 通过电阻 $R_1$ 对电容 $C_{x1}$ 充电的回路中，充电电流为

电容两端电压为

当 $t=T_1$ 时，电容电压达到触发器参考电压 $U_r$，即 $U_F=U_r$。由此可解出充电时间

同理，对另一电容 $C_{x2}$ 充电到同一参考电压 $U_r$ 的时间为

当 $R_1=R_2=R$ 时，两式中的对数因子相同，充电时间之比等于电容之比，充电时间之差正比于电容之差。

差动脉宽调制电路的输出

差动脉宽调制电路中，A、B 两点矩形脉冲经低通滤波后得到直流电压 $U_0$，其值等于 A、B 两点矩形脉冲直流分量之差：

其中 $T_1$、$T_2$ 分别为 $C_1$、$C_2$ 的充电时间，$U_1$ 为触发器输出高电位。在 $R_1=R_2=R$ 条件下，代入充电时间对数式，输出直流电压与电容差和比 $(C_1-C_2)\mathrm{/}(C_1+C_2)$ 成正比；仅当电容和固定时，才与电容差值成正比。

二极管双 T 型电路的电流平均

二极管双 T 型电路由电源、电阻 $R_1$、$R_L$、$R_2$ 及电容 $C_1$、$C_2$ 组成，供电电压为幅值 $\pm U_E$、周期 $T$、占空比 50% 的方波。电容 $C_2$ 的电流 $i_{C2}$ 包含指数衰减项。当时间常数远小于半周期 $T\mathrm{/}2$ 时，电流平均值近似为

该式表明，在时间常数远小于半周期的条件下，平均电流与电容 $C_2$ 成正比，从而将电容变化转换为可测电流。

差动灵敏度加倍须以相同几何、激励和归一化方式比较电容差；读出电路的实际电压灵敏度不能仅凭单电容或差动分类统一排序。共模抑制依赖两臂匹配，供电波动仍须稳幅或归一化。PWM充电支路使用相同电阻、相同高电平和阈值时，平均双极性输出为 $U_o=U_1(C_1-C_2)\mathrm{/}(C_1+C_2)$。电路增益系数与相对位移灵敏度应使用不同符号和单位。