一阶时间常数

一阶传感器的数学模型

一阶传感器的输入x(t)与输出y(t)由一阶常系数线性微分方程描述：

其中a1、a0、b0为由传感器物理结构决定的常数。将方程两边同除以a0，可改写为标准形式：

式中τ为时间常数，量纲为时间，τ=a1/a0；Sn为静态灵敏度，Sn=b0/a0，量纲为输出量/输入量。

传递函数与频率响应

在零初始条件下对标准形式取拉普拉斯变换，得传递函数：

令s=jω，得频率响应特性：

幅频特性与相频特性分别为：

其中ω为输入信号的角频率，单位为rad/s。Sn只使输出幅值整体放大Sn倍，为讨论方便常令Sn=1。相频特性为负值，表示输出滞后于输入。

单位阶跃响应

设Sn=1，输入单位阶跃信号x(t)=1(t)，其拉普拉斯变换为1/s，则输出：

部分分式展开后取拉普拉斯反变换，得单位阶跃响应：

若阶跃信号幅值为A0，则输出为A0(1-e^(-t/τ))。

时间常数τ的物理意义

时间常数τ是一阶传感器最重要的动态性能参数。

• 当t=τ时，y(τ)=1-e^(-1)≈0.632，即输出上升到稳态值的63.2%。
• 当t=2τ、3τ、4τ、5τ时，输出分别约为稳态值的86.5%、95.0%、98.2%、99.3%。
• 工程上当t=3τ~4τ时，输出已达稳态值的95%以上，可认为进入稳态；t>5τ后动态误差可忽略。
• 若已知允许的相对动态误差γ，则所需稳态响应时间ts=-τ·lnγ。

τ的大小表示传感器惯性的大小，故一阶环节又称惯性环节。τ越小，阶跃响应越快，响应曲线越接近输入阶跃曲线，动态误差越小。

频率响应特性与不失真测量条件

由幅频、相频特性可知：

• τ越小，A(ω)越接近常数1，φ(ω)越接近0，频率响应特性越好。
• 当ωτ≪1时，A(ω)≈1，输出与输入幅值几乎相等，呈线性关系；φ(ω)很小，tanφ≈φ，故φ(ω)≈-ωτ，相位差与频率ω成线性关系。此时测试无失真，输出y(t)真实反映输入x(t)的变化规律。
• 减小τ是改善传感器频率特性的有效手段。

与零阶、二阶系统的对比

• 零阶系统：对任何输入均呈比例输出，无动态滞后。
• 一阶系统：关键参数为时间常数τ，越小越好；阶跃响应的上升时间及正弦频率响应特性均取决于τ。
• 二阶系统：关键参数为固有角频率ωn（宜大）和阻尼比ζ。阶跃响应中响应速度由ωn决定，超调量和振荡次数由ζ决定；正弦频率响应特性需同时考虑ωn和ζ。ζ的取值需按目标确定：以幅频特性平坦（无谐振峰）为目标时取ζ≈0.707；以阶跃响应超调量较小、兼顾响应速度为目标时工程常取ζ≈0.6~0.7；若另有超调量或误差指标，则应按该指标反求ζ，不存在对所有时域响应与误差目标共同最佳的阻尼比。

动态特性参数的评价

• 阶跃输入下评价一阶传感器的主要指标是时间常数τ，τ越小响应越快、动态误差越小。
• 正弦输入下评价一阶传感器的主要指标是幅频特性和相频特性，τ越小则幅值误差和相位误差越小。
• 一阶传感器的动态标定通常考查阶跃响应，由y(t)=1-e^(-t/τ)可得z=ln[1-y(t)]=-t/τ，z与t成线性关系，τ=-Δt/Δz，据此可通过数据处理确定τ。