一阶低通滤波模型

定义与用途

一阶低通滤波模型是传感器数据融合中处理角位移与角速度信号的线性滤波环节。其作用是对加速度计解算出的角位移进行低通滤波，保留低频姿态信息，同时抑制高频噪声；与之互补的是陀螺仪角速度经积分后的一阶高通滤波。两者相加得到角度估计值。

一阶低通与一阶高通

一阶低通滤波器的复频域传递函数可写为
$H_{LP}(s)=\frac{1}{1+\tau s}$
其中 $s$ 为复频率变量，单位 ${\mathrm{s}}^{-1}$；$\tau$ 为时间常数，单位 $\mathrm{s}$。该式表示：当频率远低于 $1\mathrm{/}\tau$ 时增益趋近 1，信号被保留；当频率远高于 $1\mathrm{/}\tau$ 时增益随频率下降，高频成分被衰减。

一阶高通滤波器与一阶低通互补，其传递函数可写为
$H_{HP}(s)=\frac{\tau s}{1+\tau s}$
两者满足
$H_{LP}(s)+H_{HP}(s)=1$
这一关系是互补滤波的基础：低频段主要信任加速度计角位移，高频段主要信任陀螺仪积分得到的角速度信息。

负反馈等价式

上述互补结构也可由负反馈形式等价描述。若将角速度积分作为前向通道，将加速度计角位移与估计值之差经比例增益 $1\mathrm{/}\tau$ 反馈（即误差乘以 $1\mathrm{/}\tau$ 后与角速度相加再积分），则闭环估计可化为同一组低通与高通之和。其等价关系为
$\widehat{\theta }(s)=\frac{1}{1+\tau s}{\theta }_a(s)+\frac{\tau s}{1+\tau s}\frac{\omega (s)}{s}$
其中 $\widehat{\theta }(s)$ 为角度估计值的复频域表示，单位 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ 或 ${}^{\circ }$；${\theta }_a(s)$ 为加速度计角位移，单位与角度一致；$\omega (s)$ 为陀螺仪角速度，单位 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$ 或 ${}^{\circ }\mathrm{/}\mathrm{s}$；$\omega (s)\mathrm{/}s$ 表示角速度积分。该式说明估计值由低通后的角位移与高通后的角速度积分相加构成。

离散域与差分估计式

将复频域表达式离散化，常用后向差分近似 $s\approx \frac{1-z^{-1}}{T}$，其中 $T$ 为采样周期，单位 $\mathrm{s}$；$z^{-1}$ 为单位延迟。代入低通传递函数可得 Z 域形式
$H_{LP}(z)=\frac{T}{\tau +T-\tau z^{-1}}$
对应离散时间差分形式可整理为
$\widehat{\theta }[k]=\frac{\tau }{\tau +T}\widehat{\theta }[k-1]+\frac{T}{\tau +T}{\theta }_a[k]+\frac{T\tau }{\tau +T}\omega [k]$
其中 $\widehat{\theta }[k]$ 为当前时刻角度估计值，$\widehat{\theta }[k-1]$ 为上一时刻角度估计值，${\theta }_a[k]$ 为当前时刻加速度计角位移，$\omega [k]$ 为当前时刻陀螺仪角速度。该差分方程结构清晰，便于编程实现。

时间常数τ的作用与适用范围

时间常数 $\tau$ 决定低通与高通的交叉频率 $1\mathrm{/}\tau$。$\tau$ 越大，交叉频率 $1\mathrm{/}\tau$ 越低，低通对加速度计角位移的修正越慢，高通对陀螺仪积分的保留越多，动态响应越慢；$\tau$ 越小，交叉频率 $1\mathrm{/}\tau$ 越高，低通对加速度计角位移的修正越快，高通对陀螺仪积分的保留越少，动态响应更快但低频漂移抑制减弱。该模型适用于加速度计低频角位移可信、陀螺仪高频角速度可信的互补场景；当加速度计受到持续线加速度干扰或陀螺仪零偏显著时，需结合具体条件调整 $\tau$ 或引入更复杂的补偿。

加速度计提供重力主导条件下的倾斜参考，可估计俯仰与横滚，不能单独确定航向；明显平动加速度会干扰该参考。互补滤波须保证坐标、符号、量纲和时间一致，一阶滤波在规定模型和有效频带内近似组合信息，不保证覆盖任意运动的完整频谱。