传递函数

定义与基本关系

传递函数定义为在零初始条件下，系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。设传感器输入为 $x(t)$，输出为 $y(t)$，则传递函数为

其中 $s=\beta +\mathrm{j}\omega$ 为复频率，$L[\cdot ]$ 表示拉普拉斯变换。零初始条件指系统初始储能或状态为零，在微分方程中对应所需的输出初值为零；输入可以在起始时刻施加阶跃，不要求其起始值也为零。

一般数学模型与传递函数通式

描述传感器动态特性的常系数线性微分方程一般形式为

在零初始条件下对两边取拉普拉斯变换，得

于是传递函数为

式中 $a_i$（$i=0,1,\cdots ,n$）和 $b_j$（$j=0,1,\cdots ,m$）为与传感器敏感材料特性和结构参数有关的常系数。传递函数的分母反映系统的固有动态特性，分子反映输入与输出之间的传递关系。传递函数只与系统自身参数有关，与输入函数的具体形式无关。

一阶传感器的传递函数

一阶传感器的微分方程通式为

在零初始条件下取拉普拉斯变换，得

传递函数为

将其标准化为

式中 $\tau =\frac{a_1}{a_0}$ 为时间常数，具有时间量纲；$S_{\mathrm{n}}=\frac{b_0}{a_0}$ 为静态灵敏度。在后续讨论中，常将静态灵敏度设为 $K=1$，以便突出动态特性。

二阶传感器的传递函数

二阶传感器的微分方程通式为

在零初始条件下取拉普拉斯变换，得

传递函数为

将其标准化为

式中 $S_{\mathrm{n}}$ 为静态灵敏度，${\omega }_{\mathrm{n}}$ 为固有角频率，$\zeta$ 为阻尼比。这三个参数由方程系数 $a_0,a_1,a_2,b_0$ 决定：

固有角频率 ${\omega }_{\mathrm{n}}$ 的单位为 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$，阻尼比 $\zeta$ 为无量纲量。

适用范围与说明

传递函数适用于常系数线性定常系统，且必须在零初始条件下定义。对非线性系统不能直接使用上述线性传递函数；线性系统有非零初态时，传递函数仍描述受迫响应，总响应还须叠加初态引起的零输入响应。传递函数是系统固有特性的复频域描述，与输入信号的具体形式无关，因此可用于分析任意输入下的响应（通过 $Y(s)=H(s)X(s)$ 再取拉普拉斯反变换）。