频率响应函数

定义与来源

传感器的动态特性可用传递函数描述。对线性定常系统，设输入为 x(t)、输出为 y(t)，其微分方程经拉普拉斯变换（零初始条件）得传递函数

式中 s=β+jω 为复变量，a、b 为只与传感器敏感材料特性和结构参数有关的常系数。

对于稳定的常系数线性系统，可用傅里叶变换代替拉普拉斯变换，即令 s=jω（相当于 β=0），得到频率响应函数

其中 H_R(ω)、H_I(ω) 分别为 H(jω) 的实部和虚部。可见频率响应函数是传递函数的一个特例，即 s=jω 时的取值。

复频率表达与幅相公式

H(jω) 是复函数，用指数形式表示为

模 A(ω) 称为幅频特性：

相角 φ(ω) 称为相频特性：

A(ω) 为无量纲的幅值比（输出幅值与输入幅值之比），φ(ω) 的单位为弧度或度。

一阶传感器的频率响应

一阶传感器的微分方程为

其传递函数可写成

式中 K 为静态灵敏度，τ=a_1/a_0 为时间常数（单位 s）。令 s=jω，得频率响应函数

由此得幅频特性和相频特性：

可见一阶传感器的幅值比随 ωτ 增大而单调减小，相位始终滞后，滞后角随 ωτ 增大而增大。

二阶传感器的频率响应

二阶传感器的传递函数为

式中 k 为静态灵敏度，ω_n 为固有角频率（单位 rad/s），ζ 为阻尼比（无量纲）。令 s=jω，得频率响应函数

其幅频特性和相频特性均依赖于阻尼比 ζ 和频率比 ω/ω_n：

幅频特性描述系统增益随频率变化的规律，相频特性描述相位滞后随频率变化的规律。

与频率保持特性的关系

线性定常系统具有频率保持特性：当输入为某一频率的简谐信号 x(t)=X_0 sin(ωt) 时，稳态输出必定是同频率的简谐信号 y(t)=Y_0 sin(ωt+φ_0)，只是幅值和初始相位发生变化。频率响应函数正是定量描述这种幅值变化（A(ω)）和相位变化（φ(ω)）的工具。

适用范围

频率响应函数适用于稳定的常系数线性系统；对非线性系统或时变系统不适用。它描述的是系统对正弦输入的稳态响应，不包含瞬态过程。

相位计算须保留复数象限：一般用 $\phi =\mathrm{atan2}(H_{\mathrm{I}},H_{\mathrm{R}})$。上面的单参数反正切商式仅在实部为正的频段直接成立；对正增益二阶低通，低于固有角频率可直接取负反正切，等于该频率时相位为 $-\pi \mathrm{/}2$，高于时须选取连续的 $(-\pi ,-\pi \mathrm{/}2)$ 分支，不能遗漏象限修正。幅值增益的单位为输出单位与输入单位之比，只有同量纲或归一化时才是无量纲。