传感器的动态特性

动态特性的定义与动态误差

传感器的动态特性是指传感器对动态激励（输入）的响应特性，即其输出对随时间变化的输入量的响应特性。理想情况下，动态特性好的传感器，其输出随时间变化的规律应能再现输入随时间变化的规律，即输出与输入具有相同的时间函数。然而，由于敏感材料或结构存在惯性（如热惯性、机械惯性），输出信号与输入信号并不具有完全相同的时间函数，这种输入与输出间的差异称为动态误差，动态误差反映的是惯性延迟所引起的附加误差。

动态特性的分析方法

传感器的动态特性可以从时域和频域两个方面分析：

• 时域分析：采用瞬态响应法，研究传感器对特定输入时间函数（如阶跃函数、脉冲函数、斜坡函数）的响应。常用阶跃信号作为输入，对应的动态特性指标包括延迟时间、上升时间、响应时间、超调量等。
• 频域分析：采用频率响应法，一般使用正弦函数作为输入，用幅频特性和相频特性来描述传感器的动态特性。

阶跃输入信号的函数表达式为：

其中 $A_0$ 为阶跃输入信号的幅值，$A_0=1$ 代表单位阶跃。

传感器的数学模型

在工程测试实践中，大多数检测系统属于线性时不变系统，可用常系数线性微分方程描述传感器输出量 $y(t)$ 与输入量 $x(t)$ 的关系：

式中 $a_n,\cdots ,a_0$ 和 $b_m,\cdots ,b_0$ 为与系统敏感材料特性和结构参数有关的常数。

线性时不变系统具有两个重要性质：

• 叠加性：若 $x_1(t)\to y_1(t)$，$x_2(t)\to y_2(t)$，则 $[x_1(t)\pm x_2(t)]\to [y_1(t)\pm y_2(t)]$。即多个激励同时作用时，总响应等于各激励单独作用响应之和。
• 频率保持特性：线性系统对正弦输入的稳态响应仍为同频率的正弦信号，仅幅值和相位发生变化。

一阶传感器的动态特性

一阶传感器的微分方程为：

可改写为：

式中 $\tau$ 为传感器的时间常数（具有时间量纲），$\tau =a_1\mathrm{/}{a}_0$；$S_{\mathrm{n}}$ 为传感器的静态灵敏度，$S_{\mathrm{n}}=b_0\mathrm{/}{a}_0$。

传递函数为：

频率响应特性为：

幅频特性为：

相频特性为：

一阶传感器的单位阶跃响应函数为：

若输入阶跃信号幅值为 $A_0$，则输出应乘以 $A_0$。

二阶传感器的动态特性

二阶传感器的微分方程一般形式为：

可改写为：

式中 ${\omega }_{\mathrm{n}}$ 为固有角频率，$\zeta$ 为阻尼系数（阻尼比），$S_{\mathrm{n}}$ 为静态灵敏度。

传递函数为：

频率响应特性为：

幅频特性为：

相频特性为：

在 $\omega ={\omega }_{\mathrm{n}}$ 附近，系统发生共振，幅频特性受阻尼系数影响极大，实际测量时应避免此情况。

二阶传感器在欠阻尼情况（）下的单位阶跃响应函数为：

时域动态特性参数

• 时间常数 $\tau$：一阶传感器输出上升到稳态值的 63.2% 所需的时间。$\tau$ 越小，阶跃响应越快，频率响应的上截止频率越高，动态误差越小。当灵敏度 $S_{\mathrm{n}}=1$ 时，相对动态误差 $\gamma ={\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau }$。输入阶跃信号的一阶传感器在 $t>5\tau$ 之后采样，动态误差可以忽略；若已知允许的相对动态误差 $\gamma$，则稳态响应时间 $t_{\mathrm{s}}=-\tau \ln \gamma$。
• 延迟时间 $t_{\mathrm{d}}$：传感器的输出达到稳态值的 50% 所需的时间。
• 上升时间 $t_{\mathrm{r}}$：本课件取输出从稳态变化量的10%到90%所需的时间。
• 峰值时间 $t_{\mathrm{p}}$：二阶传感器输出响应曲线达到第一个峰值所需的时间。
• 响应时间 $t_{\mathrm{s}}$：二阶传感器从输入量开始起作用到输出指示值进入稳态值所规定的范围内所需要的时间。
• 超调量 $\sigma$：二阶传感器单位阶跃响应的峰值与稳态值之差对稳态值的百分比。对于单位阶跃输入且 $S_{\mathrm{n}}=1$，超调量为 $\sigma ={\mathrm{e}}^{-\zeta \pi \mathrm{/}\sqrt{1-{\zeta }^2}}$，由此可推得 $\zeta =\frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{\pi }{\ln \sigma }\right)}^2+1}}$。

不失真测量条件

为使测试结果能精确再现被测信号波形，传感器设计时应满足：

• 对于一阶传感器：时间常数 $\tau$ 足够小，使得在测量频率范围内幅频特性平坦、相频特性近似线性。
• 对于二阶传感器：阻尼系数 ，固有角频率 ${\omega }_{\mathrm{n}}$ 至少应大于被测信号角频率 $\omega$ 的 3~5 倍，即 ${\omega }_{\mathrm{n}}⩾(3\sim 5)\omega$。若被测信号为非周期信号，可将其分解为各次谐波，若 ${\omega }_{\mathrm{n}}$ 不低于输入信号谐波中最高角频率 ${\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ 的 3~5 倍，可作为频带选择的经验起点，最终须按允许幅相误差验算。若被测信号波形与正弦波相差不大，${\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ 可用基频的 2~3 倍代替，因此保证 ${\omega }_{\mathrm{n}}⩾10\omega$（$\omega$ 为被测信号基频）即可。

不失真测量的频域条件为：幅频特性为常数，相频特性与频率成线性关系。

相位计算须保留复数象限：一般用 $\phi =\mathrm{atan2}(H_{\mathrm{I}},H_{\mathrm{R}})$。上面的单参数反正切商式仅在实部为正的频段直接成立；对正增益二阶低通，低于固有角频率可直接取负反正切，等于该频率时相位为 $-\pi \mathrm{/}2$，高于时须选取连续的 $(-\pi ,-\pi \mathrm{/}2)$ 分支，不能遗漏象限修正。幅值增益的单位为输出单位与输入单位之比，只有同量纲或归一化时才是无量纲。