阶跃响应

阶跃输入与响应定义

阶跃输入信号为

其中 $A_0$ 为阶跃幅值，$A_0=1$ 时为单位阶跃。阶跃响应即传感器在零初始状态下对阶跃输入的输出 $y(t)$，用于在时域内评价动态特性。

一阶传感器的单位阶跃响应

一阶传感器传递函数为 $H(s)={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{n}}}{\tau s+1}}$，其中 $S_{\mathrm{n}}$ 为灵敏度（输出相对输入的放大倍数），$\tau$ 为时间常数，单位 s。输入单位阶跃的拉普拉斯变换为 $1\mathrm{/}s$，取 $S_{\mathrm{n}}=1$、零初始态，则

部分分式展开并反变换得

若输入幅值为 $A_0$，则输出乘以 $A_0$。该式表明输出从 0 单调指数上升，最终趋于稳态值 1。

一阶响应的时间常数与动态误差

时间常数 $\tau$ 是输出上升到稳态值 63.2% 所需的时间，即 $y(\tau )=1-{\mathrm{e}}^{-1}\approx 0.632$。$\tau$ 越小，阶跃响应越快，响应曲线越接近输入阶跃曲线，动态误差越小；$\tau$ 越大表示惯性越大，故一阶环节又称惯性环节。

当 $S_{\mathrm{n}}=1$ 时，相对动态误差为 $\gamma ={\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau }$。理论上需 $t\to \mathrm{\infty }$ 才达稳态，工程上当 $t=3\tau \sim 4\tau$ 时输出已达稳态值 95% 以上，可认为进入稳态；$t>5\tau$ 后采样动态误差可忽略。若给定允许相对动态误差 $\gamma$，则稳态响应时间 $t_{\mathrm{s}}=-\tau \ln \gamma$。

二阶传感器的单位阶跃响应（欠阻尼）

二阶传感器在 （欠阻尼）时的单位阶跃响应为

其中 ${\omega }_{\mathrm{n}}$ 为固有角频率（rad/s），$\zeta$ 为阻尼系数（无量纲）。${\omega }_{\mathrm{n}}$ 是时间 $t$ 的系数，决定响应速度：${\omega }_{\mathrm{n}}$ 越大，响应越快。响应由稳态项与衰减振荡项组成，振荡频率为 $\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_{\mathrm{n}}$，衰减快慢由 $\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}$ 决定。

时域动态特性指标

• 时间常数 $\tau$：一阶传感器输出上升到稳态值 63.2% 所需时间。
• 延迟时间 $t_{\mathrm{d}}$：输出达到稳态值 50% 所需时间。
• 上升时间 $t_{\mathrm{r}}$：二阶传感器输出由稳态值的 10% 变化到 90% 所用的时间。
• 峰值时间 $t_{\mathrm{p}}$：二阶传感器输出响应曲线达到第一个峰值所需时间。
• 响应时间 $t_{\mathrm{s}}$：从输入开始起作用到输出进入稳态值规定范围（图中为 $\pm 5\mathrm{\%}$ 误差带）所需时间。
• 超调量 $\sigma$：输出第一次达到稳定值后又超出稳定值的最大偏差 $\mathrm{\Delta }A$ 与稳态值 $A$ 之比，常以百分比表示，越小越好。

适用范围

上述一阶、二阶阶跃响应表达式适用于线性时不变系统、零初始状态；二阶欠阻尼公式要求 。一阶响应单调无超调，二阶欠阻尼响应存在振荡与超调。