指数与自然对数

指数与自然对数

指数函数

指数函数的一般形式为 $y=a^x$，其中底数 $a>0$ 且 $a\mathrm{\ne }1$，定义域为全体实数。指数函数满足以下基本运算法则：

• $a^{x+y}=a^x{a}^y$
• $a^{x-y}=a^x\mathrm{/}{a}^y$
• $(a^x{)}^y=a^{xy}$
• $a^0=1$

当底数取自然常数 $e$（$e\approx 2.71828$）时，得到自然指数函数 $y=e^x$。自然指数函数具有独特的求导性质：

即自然指数函数的导数等于其自身。对于复合形式 $e^{u(x)}$，由链式法则：

自然对数

自然对数是以 $e$ 为底的对数函数，记作 $\ln x$，定义为指数函数的反函数：

其定义域为 $x>0$，值域为全体实数。自然对数满足以下基本运算法则：

• $\ln (ab)=\ln a+\ln b$
• $\ln (a\mathrm{/}b)=\ln a-\ln b$
• $\ln (a^n)=n\ln a$
• $\ln 1=0$，$\ln e=1$
• $\ln (e^x)=x$，$e^{\ln x}=x$

自然对数的导数为：

对于复合形式 $\ln u(x)$：

由指数关系反解参数

当已知形如 $e^{-t\mathrm{/}\tau }=\gamma$ 的指数关系时，两边取自然对数可反解出时间 $t$：

类似地，对于一般指数关系 $A{e}^{Bx}=C$，两边取自然对数得：

此方法要求 $A>0$、$C>0$，以保证对数有意义。

在传感器模型中的应用

一阶传感器阶跃响应中，动态误差随时间按指数衰减：

给定允许的相对动态误差 $\gamma$，可反解响应时间：

其中 $\tau$ 为时间常数。

二阶传感器超调量与阻尼比的关系为：

两边取自然对数：

由此可反解阻尼比 $\zeta$。

NTC 热敏电阻阻值与温度的关系为：

两边取自然对数：

由此可反解材料常数 $B$ 或温度 $T$。