动态误差

动态误差的定义

传感器的动态特性是指传感器对动态激励（输入）的响应（输出）特性，即输出对随时间变化的输入量的响应特性。理想情况下，输出随时间变化的规律应与输入随时间变化的规律相同，即输出与输入具有相同的时间函数。

但实际传感器的敏感材料对变化会表现出一定程度的惯性（如温度测量中的热惯性），因此输出信号与输入信号并不具有完全相同的时间函数。这种输入与输出间的差异称为动态误差，它反映的是惯性延迟所引起的附加误差。

动态误差的来源

实际传感器总存在弹性、惯性或阻尼元件，导致输出 $y(t)$ 不仅与输入 $x(t)$ 有关，还与输入量的变化速度 $\mathrm{d}x\mathrm{/}\mathrm{d}t$、加速度 ${\mathrm{d}}^{2}x\mathrm{/}\mathrm{d}{t}^2$ 等有关。

在工程测试实践中，大多数检测系统属于线性时不变系统，可用常系数线性微分方程描述输出量 $y(t)$ 与输入量 $x(t)$ 的关系：

式中 $a_n,\cdots ,a_0$ 和 $b_m,\cdots ,b_0$ 为与系统敏感材料特性和结构参数有关的常数。当输入为静态信号时，各阶导数项为零，方程退化为代数关系，动态误差不再出现。

一阶传感器的动态误差

一阶传感器含有一个储能元件，其单位阶跃响应为指数上升曲线。时间常数 $\tau$ 定义为输出上升到稳态值的 63.2% 所需的时间，$\tau$ 的大小表示惯性的大小，故一阶环节又称惯性环节。

当灵敏度 $S_n$ 为 1 时，相对动态误差为

式中 $\gamma$ 为相对动态误差（无量纲），$t$ 为时间（单位 s），$\tau$ 为时间常数（单位 s）。

由该式可见：$\tau$ 越小，阶跃响应越快，频率响应的上截止频率越高，响应曲线越接近输入阶跃曲线，即动态误差越小。

输入阶跃信号的一阶传感器在 $t>5\tau$ 之后采样，其动态误差可以忽略，可认为输出已接近稳态。反过来，若已知允许的相对动态误差值 $\gamma$，则可计算稳态响应时间：

体温计示例：由动态误差提前预测

以体温计为例，测量开始时体温计处于室温 $T_0$，在 $t_0$ 时刻接触人体，输入温度阶跃至体温 $T_1$。由于热惯性，输出温度呈指数上升并逐渐趋近 $T_1$，在 $t_1$ 时刻输入与输出之间的垂直差值即为动态误差。

只要获得体温计的响应曲线函数，就能将前几秒测得的被测量代入该函数，提前预测出稳态体温，从而缩短测量时间。这正是利用动态误差规律进行提前预测的用途。

适用范围

上述分析基于线性时不变系统假设，且以阶跃输入和正弦输入为典型激励。$t>5\tau$ 后动态误差可忽略的结论适用于一阶传感器在阶跃输入下的情形。

“可忽略”须以允许误差为准：理想一阶阶跃响应在 $5\tau$ 时尚有约0.67%的相对误差，提前预测还要求有效的热响应模型与测量条件。