一阶传感器

一阶传感器的数学模型

多数传感器的输入输出关系可用常系数线性微分方程描述，一般形式为

其中 $x$ 为输入量，$y$ 为输出量，$a_i$、$b_j$ 为与系统结构有关的常数。绝大多数传感器可简化为零阶、一阶或二阶三种形式：

• 零阶：$a_{0}y=b_{0}x$
• 一阶：$a_1{\displaystyle \frac{dy}{dt}}+a_{0}y=b_{0}x$
• 二阶：$a_2{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}+a_1{\displaystyle \frac{dy}{dt}}+a_{0}y=b_{0}x$

一阶微分方程可改写为标准形式

式中 $\tau =a_1\mathrm{/}{a}_0$ 为时间常数，具有时间量纲（单位 s）；$S_{\mathrm{n}}=b_0\mathrm{/}{a}_0$ 为静态灵敏度，量纲为输出量/输入量。

传递函数与频率响应函数

在零初始条件下对一阶微分方程取拉普拉斯变换，得传递函数

$S_{\mathrm{n}}$ 只起使输出放大 $S_{\mathrm{n}}$ 倍的作用，为讨论方便常令 $S_{\mathrm{n}}=1$（即 $K=1$），此时 $H(s)={\displaystyle \frac{1}{\tau s+1}}$。

将 $s$ 换为 $\mathrm{j}\omega$（$\omega$ 为角频率，单位 rad/s），得频率响应函数

由此得幅频特性和相频特性

相频特性为负值，表示输出滞后于输入。

单位阶跃响应

设 $S_{\mathrm{n}}=1$，输入单位阶跃信号 $x(t)=1$（拉普拉斯变换为 $1\mathrm{/}s$），则输出拉普拉斯变换为

部分分式展开后取拉普拉斯反变换，得单位阶跃响应

若阶跃信号幅值为 $A_0$，则输出为 $A_0(1-{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau })$。

响应曲线从 0 开始按指数规律上升，最终趋于稳态值 1。关键数据点：

时间常数 τ 的物理意义与影响

时间常数 $\tau$ 是一阶传感器最重要的动态性能参数，其物理意义为：输出上升到稳态值的 63.2% 所需的时间。$\tau$ 的大小表示惯性的大小，故一阶环节又称惯性环节。

• $\tau$ 越小，阶跃响应越快，响应曲线越接近输入阶跃曲线，动态误差越小。
• $\tau$ 越小，频率响应的上截止频率越高，幅频特性越接近常数 1，相频特性越接近 0，频率响应特性越好。
• 当 $\omega \tau \ll 1$ 时，$A(\omega )\approx 1$，$\phi (\omega )\approx -\omega \tau$，输出与输入近似为线性关系且相位差与频率成线性关系，保证无失真测试。

理论上需 $t\to \mathrm{\infty }$ 输出才达稳态值，工程上当 $t=3\tau \sim 4\tau$ 时输出已达稳态值的 95% 以上，可认为达到稳态。

当 $S_{\mathrm{n}}=1$ 时，相对动态误差为 $\gamma ={\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau }$。若已知允许的相对动态误差 $\gamma$，可计算稳态响应时间 $t_{\mathrm{s}}=-\tau \ln \gamma$。

动态特性参数对比

一阶传感器时间常数的测定

利用阶跃响应测定 $\tau$：设 $S_{\mathrm{n}}=1$，由 $y(t)=1-{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau }$ 定义 $z=\ln [1-y(t)]=-t\mathrm{/}\tau$，则 $z$ 与 $t$ 成线性关系，$\tau =-\mathrm{\Delta }t\mathrm{/}\mathrm{\Delta }z$。测量一系列 $t$-$y(t)$ 对应值，通过数据处理即可确定 $\tau$。

也可利用正弦输入信号测定幅频特性和相频特性来确定 $\tau$。