固有角频率

定义与来源

二阶传感器的动态特性由二阶微分方程描述，其传递函数标准化后包含三个特征参数：静态灵敏度Sn、固有角频率ωn和阻尼系数ζ。固有角频率的定义为
${\omega }_{\mathrm{n}}=\sqrt{\frac{a_0}{a_2}}=\frac{1}{\tau }$
其中a0、a2为二阶微分方程中输出项及其二阶导数项的系数，τ为时间尺度，单位为s。阻尼系数为
$\zeta =\frac{a_1}{2\sqrt{a_0{a}_2}}$
其中a1为输出一阶导数项系数。这三个参数均由方程系数决定，与输入信号无关。

ωn对阶跃响应速度的影响

在欠阻尼（0<ζ<1）条件下，二阶传感器的单位阶跃响应为
$y(t)=S_{\mathrm{n}}[1-\frac{{\mathrm{e}}^{-\zeta {\omega }_{\mathrm{n}}t}}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\sin (\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_{\mathrm{n}}t+\arctan \frac{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta })]$
式中t为时间（s），Sn为静态灵敏度。响应中振荡项的角频率为有阻尼固有角频率
${\omega }_{\mathrm{d}}=\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_{\mathrm{n}}$
指数衰减项为e^(−ζωn t)，其衰减快慢由乘积ζωn决定。当ζ固定时，ωn越大，指数衰减越快，振荡周期越短，系统到达稳态所需时间越短，即阶跃响应速度越快。因此ωn是决定二阶传感器响应速度的核心参数。

频率响应中的选择条件

二阶传感器的幅频特性为
$A(\omega )=S_{\mathrm{n}}{\{{[1-{\left(\frac{\omega }{{\omega }_{\mathrm{n}}}\right)}^2]}^2+4{\zeta }^2{\left(\frac{\omega }{{\omega }_{\mathrm{n}}}\right)}^2\}}^{-\frac{1}{2}}$
相频特性为
$\phi (\omega )=-\arctan \frac{2\zeta (\omega \mathrm{/}{\omega }_{\mathrm{n}})}{1-(\omega \mathrm{/}{\omega }_{\mathrm{n}}{)}^2}$
式中ω为被测信号的角频率（rad/s）。当0<ζ<1且ωn≫ω时，A(ω)≈Sn（常数），φ(ω)≈−2ζω/ωn，相位差与ω近似成线性关系，输出能真实再现输入波形；只有Sn=1或已归一化时，低频幅值才近似为1。在ω=ωn附近系统发生共振，幅频特性受ζ影响极大，实际测量应避免。

为使测试结果能精确再现被测信号波形，设计时须使ζ<1，且固有角频率至少为被测信号角频率的3~5倍，即
${\omega }_{\mathrm{n}}⩾(3\sim 5)\omega$
对于非周期信号，可分解为各次谐波得到频谱。若ωn不低于输入信号谐波中最高角频率ωmax的3~5倍，可作为频带选择的经验起点，最终须按允许幅相误差验算。若被测信号波形与正弦波相差不大，ωmax可用基频的2~3倍代替，因此选用和设计传感器时保证
${\omega }_{\mathrm{n}}⩾10\omega$
即可，式中ω为被测信号基频。

由峰值时间与阻尼比反求ωn

动态标定中，对二阶传感器施加单位阶跃输入（灵敏度为1），测得超调量σ和峰值时间tp。超调量仅与阻尼比有关：
$\sigma ={\mathrm{e}}^{-\frac{\zeta \pi }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}$
由此反求阻尼比：
$\zeta =\frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{\pi }{\ln \sigma }\right)}^2+1}}$
峰值时间tp与有阻尼固有角频率的关系为
$t_{\mathrm{p}}=\frac{\pi }{{\omega }_{\mathrm{d}}}=\frac{\pi }{{\omega }_{\mathrm{n}}\sqrt{1-{\zeta }^2}}$
因此由测得的tp和已求出的ζ可反求固有角频率：
${\omega }_{\mathrm{n}}=\frac{\pi }{t_{\mathrm{p}}\sqrt{1-{\zeta }^2}}$
也可由振荡周期T求有阻尼固有角频率ωd=2π/T，再由ωn=ωd/√(1−ζ²)得到ωn。

适用范围

上述关系适用于可用二阶线性常系数微分方程描述的传感器，且讨论阶跃响应速度与反求公式时限定在欠阻尼0<ζ<1范围。ζ>1为过阻尼，ζ=1为临界阻尼，ζ=0为无阻尼等幅振荡，ζ<0时响应发散。阻尼比约0.707是典型二阶低通幅频平坦性的设计选择，阶跃速度、超调和允许误差目标不同，最优取值也不同。课件推荐ζ取0.6~0.7，此范围内幅频特性平坦部分最宽，相频特性在较宽频率范围内接近直线。

相位计算须保留复数象限：一般用 $\phi =\mathrm{atan2}(H_{\mathrm{I}},H_{\mathrm{R}})$。上面的单参数反正切商式仅在实部为正的频段直接成立；对正增益二阶低通，低于固有角频率可直接取负反正切，等于该频率时相位为 $-\pi \mathrm{/}2$，高于时须选取连续的 $(-\pi ,-\pi \mathrm{/}2)$ 分支，不能遗漏象限修正。幅值增益的单位为输出单位与输入单位之比，只有同量纲或归一化时才是无量纲。