相频特性

定义与来源

传感器的动态特性可在频域用正弦输入来研究。对线性时不变传感器，其输入输出关系由常系数线性微分方程描述，取拉普拉斯变换得到传递函数 $H(s)$。令 $s=\mathrm{j}\omega$（$\omega$ 为输入正弦信号的角频率，单位 rad/s），即得频率响应函数 $H(\mathrm{j}\omega )$。将 $H(\mathrm{j}\omega )$ 写成实部 $H_{\mathrm{R}}(\omega )$ 与虚部 $H_{\mathrm{I}}(\omega )$ 的形式，则

幅频特性

相频特性

相频特性 $\phi (\omega )$ 表示传感器在角频率 $\omega$ 的正弦输入下，稳态输出相对输入的相位差，单位通常为弧度或度。对实际传感器，$\phi (\omega )$ 通常为负值，意味着输出滞后于输入。

一阶传感器的相频特性

一阶传感器的传递函数为

其中 $S_{\mathrm{n}}=b_0\mathrm{/}{a}_0$ 为静态灵敏度，$\tau =a_1\mathrm{/}{a}_0$ 为时间常数（单位 s）。令 $s=\mathrm{j}\omega$ 得频率响应函数

其相频特性为

$S_{\mathrm{n}}$ 只使输出幅值放大 $S_{\mathrm{n}}$ 倍，不影响相位，讨论时常令 $S_{\mathrm{n}}=1$。

当 $\omega \tau \ll 1$ 时，$\tan \phi \approx \phi$，故

即相位差与角频率 $\omega$ 成线性关系，此时输出 $y(t)$ 能真实反映输入 $x(t)$ 的变化规律。时间常数 $\tau$ 越小，$\phi (\omega )$ 越接近于 0，频率响应特性越好，因此减小 $\tau$ 是改善一阶传感器频率特性的有效手段。

二阶传感器的相频特性

典型二阶传感器的传递函数为

其中 ${\omega }_{\mathrm{n}}=\sqrt{a_0\mathrm{/}{a}_2}$ 为固有角频率（单位 rad/s），$\zeta ={\displaystyle \frac{a_1}{2\sqrt{a_0{a}_2}}}$ 为阻尼系数（无量纲）。令 $s=\mathrm{j}\omega$，其相频特性为

当 且 ${\omega }_{\mathrm{n}}\gg \omega$ 时，$\phi (\omega )$ 很小，且

即相位差与角频率 $\omega$ 成线性关系，系统输出 $y(t)$ 真实准确地再现输入 $x(t)$ 的波形。

参数选取与适用条件

为使测试结果能精确再现被测信号波形，传感器设计时应满足：

• 阻尼系数 ；
• 固有角频率 ${\omega }_{\mathrm{n}}$ 至少应大于被测信号角频率 $\omega$ 的 3~5 倍，即 ${\omega }_{\mathrm{n}}⩾(3\sim 5)\omega$；
• 阻尼比 $\zeta$ 推荐取 0.6~0.7，此时幅频特性平坦部分最宽，相频特性在最宽频率范围内接近于直线。

在 $\omega ={\omega }_{\mathrm{n}}$ 附近系统发生共振，幅频特性受阻尼系数影响极大，实际测量应避免此情况。

对非周期被测信号，可将其分解为各次谐波。若传感器固有角频率 ${\omega }_{\mathrm{n}}$ 不低于输入信号谐波中最高角频率 ${\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ 的 3~5 倍，可作为频带选择的经验起点，最终须按允许幅相误差验算。若被测信号波形与正弦波相差不大，其最高谐波角频率可用基频的 2~3 倍代替，因此选用和设计传感器时保证 ${\omega }_{\mathrm{n}}⩾10\omega$（$\omega$ 为被测信号基频）即可。

相位计算须保留复数象限：一般用 $\phi =\mathrm{atan2}(H_{\mathrm{I}},H_{\mathrm{R}})$。上面的单参数反正切商式仅在实部为正的频段直接成立；对正增益二阶低通，低于固有角频率可直接取负反正切，等于该频率时相位为 $-\pi \mathrm{/}2$，高于时须选取连续的 $(-\pi ,-\pi \mathrm{/}2)$ 分支，不能遗漏象限修正。幅值增益的单位为输出单位与输入单位之比，只有同量纲或归一化时才是无量纲。