正弦稳态相量法与复阻抗

正弦稳态相量法与复阻抗

一、正弦量的相量表示

设正弦电压为

其中 $U_m$ 为振幅，$\omega$ 为角频率，${\phi }_u$ 为初相。在正弦稳态下，同一电路中所有电压、电流均为同一频率 $\omega$ 的正弦量，频率不参与运算，因此可用复数相量表示振幅与初相：

类似地，正弦电流 $i(t)=I_m\cos (\omega t+{\phi }_i)$ 的相量为

若采用有效值相量，则用有效值 $U=U_m\mathrm{/}\sqrt{2}$、$I=I_m\mathrm{/}\sqrt{2}$ 代替振幅，相位关系不变。相量与瞬时量的对应关系为：

其中 $\mathrm{Re}\{\cdot \}$ 表示取复数的实部。

相量运算规则：同频率正弦量对应的相量可直接进行加减运算；乘以 $j$ 相当于相位超前 ${90}^{\circ }$，除以 $j$ 相当于相位滞后 ${90}^{\circ }$；乘以 $j\omega$ 对应时域微分，除以 $j\omega$ 对应时域积分。

二、复阻抗的定义

在正弦稳态下，线性无源一端口网络的端口电压相量与电流相量之比定义为复阻抗：

复阻抗一般为复数，写作

其中 $R=\mathrm{Re}\{Z\}$ 为电阻分量，$X=\mathrm{Im}\{Z\}$ 为电抗分量。复阻抗的模 $\mathrm{\mid }Z\mathrm{\mid }$ 与阻抗角 ${\phi }_Z$ 满足

阻抗角表示端口电压超前端口电流的相位。

三种基本元件的复阻抗为：

• 电阻：$Z_R=R$，$R>0$，$X=0$；
• 电感：$Z_L=j\omega L$，$R=0$，$X=\omega L>0$；
• 电容：$Z_C={\displaystyle \frac{1}{j\omega C}}=-j{\displaystyle \frac{1}{\omega C}}$，$R=0$，。

其中 $\omega =2\pi f$，$f$ 为频率，$L$ 为电感，$C$ 为电容。

三、相量形式的欧姆定律与基尔霍夫定律

相量形式的欧姆定律为

相量形式的基尔霍夫电流定律与电压定律为

对任一回路，沿回路方向各段复阻抗压降之和为零：

四、复阻抗的串联与并联

复阻抗串联时，等效复阻抗为各复阻抗之和：

例如电阻与电感串联：

其实部为电阻 $R$，虚部为感抗 $\omega L$。

复阻抗并联时，等效复阻抗的倒数为各复阻抗倒数之和：

两个复阻抗并联时：

五、复数有理化

当复阻抗表达式中分母含复数时，为分离实部与虚部，可将分子分母同乘分母的共轭复数。设

其中 $A,B,C$ 为实数，则

于是

例如将 ${\displaystyle \frac{(\omega M{)}^2}{R_2+j\omega L_2}}$ 有理化：

其实部为 ${\displaystyle \frac{(\omega M{)}^2{R}_2}{R_2^2+(\omega L_2{)}^2}}$，虚部为 $-{\displaystyle \frac{(\omega M{)}^3{L}_2}{R_2^2+(\omega L_2{)}^2}}$。

六、含 $j\omega$ 的复数频率响应表达式

在正弦稳态下，将时域微分方程中的 ${\displaystyle \frac{d}{dt}}$ 用 $j\omega$ 代替，即可得到复数频率响应表达式。例如某电路的复数频率关系可写为

其中 $j$ 为虚数单位，$\omega$ 为角频率，$R$ 为电阻，$C_a,C_i,C_c$ 为电容，$d_{11}$ 与 $F$ 为与电路结构有关的系数。该表达式中分子含 $j\omega$，分母为 $1+j\omega R(C_a+C_i+C_c)$，其模与相位随频率变化，反映正弦稳态下的幅频与相频特性。

七、回路等效复阻抗

对含耦合或受控源的回路，可由相量形式回路方程求等效复阻抗。设一次侧回路方程为

二次侧回路方程为

由二次侧方程得

代入一次侧方程，得

故一次侧等效复阻抗为

将第三项有理化后，可分离出实部与虚部，其中实部包含二次侧反射电阻，虚部包含二次侧反射电抗。