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核心第4章 · 电感式传感器

电涡流短路环等效模型

一句话看懂

电涡流传感器线圈可等效为二次侧短路的空心变压器，通过KVL推导出等效电阻增大、等效电感减小的关系，从而用等效电感变化测量距离。

短路环等效模型的物理来源

当传感器线圈通以高频交流电并靠近金属导体时，线圈交变磁场在导体表层感应出闭合的电涡流。为便于电路分析，将导体中涡流路径等效为一个短路线圈（短路环），于是传感器线圈与导体构成一对通过互感耦合的回路，其电路结构与二次侧短路的空心变压器相同。

等效电路参数

一次侧（传感器线圈）：电阻 $R_{1}$ （单位 $Ω$ ）、自感 $L_{1}$ （单位 H）。
二次侧（导体短路环）：电阻 $R_{2}$ （单位 $Ω$ ）、自感 $L_{2}$ （单位 H）。
耦合：互感 $M$ （单位 H），随线圈与导体间距离变化。

KVL 方程与等效阻抗推导

设一次侧电流相量为 ${\dot{I}}_{1}$ ，二次侧电流相量为 ${\dot{I}}_{2}$ ，角频率 $ω = 2 π f$ （ $f$ 为激励频率，单位 Hz）。对两个回路列 KVL：

一次侧：

(R_{1} + j ω L_{1}) {\dot{I}}_{1} - j ω M {\dot{I}}_{2} = {\dot{U}}_{1}

二次侧（短路，无外加电压）：

- j ω M {\dot{I}}_{1} + (R_{2} + j ω L_{2}) {\dot{I}}_{2} = 0

由二次侧方程得：

{\dot{I}}_{2} = \frac{j ω M}{R_{2} + j ω L_{2}} {\dot{I}}_{1}

代入一次侧方程，得一次侧等效阻抗：

Z = \frac{{\dot{U}}_{1}}{{\dot{I}}_{1}} = R_{1} + j ω L_{1} + \frac{(ω M)^{2}}{R_{2} + j ω L_{2}}

将附加项有理化，令 $Z_{2} = R_{2} + j ω L_{2}$ ，则：

\frac{(ω M)^{2}}{Z_{2}} = \frac{(ω M)^{2} (R_{2} - j ω L_{2})}{R_{2}^{2} + (ω L_{2})^{2}}

于是等效阻抗写为 $Z = R_{e q} + j ω L_{e q}$ ，其中：

R_{e q} = R_{1} + \frac{(ω M)^{2} R_{2}}{R_{2}^{2} + (ω L_{2})^{2}}

L_{e q} = L_{1} - \frac{(ω M)^{2} L_{2}}{R_{2}^{2} + (ω L_{2})^{2}}

前后增减分析

等效电阻：附加项 $\frac{(ω M)^{2} R_{2}}{R_{2}^{2} + (ω L_{2})^{2}} > 0$ ，故 $R_{e q} > R_{1}$ ，即电涡流效应使线圈等效电阻增大，反映涡流引起的能量损耗。
等效电感：附加项为负，故 $L_{e q} < L_{1}$ ，即电涡流效应使线圈等效电感减小，反映涡流去磁作用。
等效品质因数： $Q_{e q} = \frac{ω L_{e q}}{R_{e q}}$ ，分子减小、分母增大，故 $Q_{e q}$ 下降。
互感依赖：附加项均正比于 $M^{2}$ ，而 $M$ 随线圈与导体间距离变化，因此等效参数随距离改变。

适用范围与工程用法

上述推导基于线性、正弦稳态、忽略导体磁滞与饱和、把涡流路径集中为单一短路环的近似。工程中通常利用等效电感的变化构成测量电路，实现位移、厚度等非电量测量。

扩展进一步了解

短路环尺寸与前后对照

教材进一步给R₂=2πρ/[h ln(rₐ/rᵢ)]，h=sqrt(ρ/(πμ₀μᵣf))；rₐ、rᵢ为所定义外、内尺寸，使用相同直径或半径比例，rₐ>rᵢ。ρ、h取SI单位可得Ω。此为该等效分布模型，不把导体涡流强行当真实均匀线环。

表4-3可用基础已定义D完整对照：

量	无涡流耦合	有涡流耦合
电阻	R₁	R₁+ω²M²R₂/D
电感	L₁	L₁−ω²M²L₂/D
品质因数	ωL₁/R₁	ω(L₁−ω²M²L₂/D)/(R₁+ω²M²R₂/D)

这里是线圈电气品质因数，不沿用原正文“机械品质因数”的误称。在模型有效且Leq为正的工作条件下，它因损耗增加和电感减少而下降。

测试

基础测试

基础测试统一使用选择题，先确认概念、定义和关键判断是否扎实。

选择题

电涡流传感器线圈靠近金属导体后，其等效电阻 $R_{e q}$ 和等效电感 $L_{e q}$ 相对自身值 $R_{1}$ 、 $L_{1}$ 的变化是

选择题

短路环等效模型中，等效参数的附加项与互感 $M$ 的关系是

选择题

关于等效品质因数 $Q_{e q} = \frac{ω L_{e q}}{R_{e q}}$ 的变化，正确的是

知识关联

前置知识

互感系数电感线圈品质因数电涡流效应极间漏电阻正弦稳态相量法与复阻抗

当前知识电涡流短路环等效模型

后续知识

电感式谐振测量电路电涡流调频式测量电路电涡流调幅式测量电路频率—电压转换器电涡流振幅测量

基本信息

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资料来源 (2)

传感器与检测技术第4版 · 第4章 · 原文字行2743–2803电感传感器课件 · 原页14–16