压电式传感器等效电路

压电元件的电荷产生与固有电容

压电元件受外力作用时，其两表面产生等量正负电荷，电量为 Q。压电片本身构成一个电容器，其固有电容为

式中 S 为压电片面积（单位 m²），d 为压电片厚度（单位 m），ε 为压电材料的介电常数（单位 F/m），ε = ε_r ε_0，ε_r 为相对介电常数，ε_0 为真空介电常数。

此时压电元件两表面的开路电压为

式中 Q 为电荷量（单位 C），C_a 为压电元件固有电容（单位 F），U 为开路电压（单位 V）。

两种基本等效电路

由上述关系，压电式传感器可以有两种等效方式：

• 电荷源等效电路：一个电荷源 Q 与一个电容器 C_a 并联。该等效电路适用于分析电荷输出及电荷放大器。
• 电压源等效电路：一个电压源 U = Q/C_a 与一个电容器 C_a 串联。该等效电路适用于分析电压输出及电压放大器。该表示是理想无泄漏模型；当考虑传感器泄漏电阻 R_a 时，若仍采用电压源形式，则 R_a 应并联在元件两端（即跨接在电压源与 C_a 串联支路的端口上），而不是仅并联在 C_a 两端。

两种等效电路对外部电路的作用是等价的，可根据测量电路形式选用。

实际测量系统中的等效电路

实际使用时，压电式传感器总要与测量仪器或测量电路相连接，因此还必须考虑以下参数：

• 连接电缆的等效电容 C_c；
• 放大器的输入电阻 R_i；
• 放大器的输入电容 C_i；
• 压电式传感器本身的泄漏电阻 R_a。

在电荷源等效电路中，电荷源 Q 与 C_a 并联，R_a 与 C_a 并联，外部电路（C_c、R_i、C_i）也并联在元件两端。在电压源等效电路中，电压源 U 与 C_a 串联，外部电路同样并联在元件两端；若考虑泄漏电阻 R_a，则 R_a 应并联在元件两端（即跨接在电压源与 C_a 串联支路的端口上），而不是仅并联在 C_a 两端。

电压放大器输入端的简化等效

对于电压放大器，可将电路简化为：

• 总电阻 R 为传感器泄漏电阻 R_a 与放大器输入电阻 R_i 的并联值：

• 总电容 C 为电缆等效电容 C_c 与放大器输入电容 C_i 之和（在简化模型中，有时将 C_a 也一并计入总电容，需注意具体模型定义）：

压电传感器的开路电压仍为

交变力作用下的输出关系

沿压电元件电轴施加交变力

式中 F_m 为力幅值（单位 N），ω 为角频率（单位 rad/s），t 为时间（单位 s）。

对于压电元件，输出电压 U 与力成正比，表达式为

式中 d_11 为压电常数（单位 C/N 或 m/V），下标 11 表示电场方向与应力方向均沿电轴。

放大器输入端电压 U_i 的复数频率关系为

式中 j 为虚数单位，ω 为角频率，R 为等效总电阻，C_a 为传感器固有电容，C_i 为放大器输入电容，C_c 为电缆等效电容。该式表明输入电压 U_i 与频率 ω 及总电容有关：当 ω 足够高时，分母中 jωR(C_a+C_i+C_c) 项远大于 1，U_i 趋于 d_11 F / (C_a+C_i+C_c)，即与频率无关；当 ω 较低时，U_i 随频率下降而减小。

高内阻微弱输出的前置放大需求

压电式传感器本身的内阻抗很高（通常 10^10 Ω 以上），输出能量较小，因此其测量电路通常需要接入一个高输入阻抗的前置放大器。前置放大器的作用为：

1. 将高输入阻抗（一般 1000 MΩ 以上）变换为低输出阻抗（小于 100 Ω）；
2. 对传感器输出的微弱信号进行放大。

根据压电式传感器的两种等效方式，前置放大器也有两种形式：电荷放大器和电压放大器。电荷放大器利用高增益运算放大器与负反馈电容 C_f 构成，其反馈电容折合到放大器输入端的有效电容为

式中 K 为运算放大器增益，C_f 为反馈电容。由于运算放大器输入阻抗很高，输入端几乎没有分流，可略去 R_i 的影响；但传感器泄漏电阻 R_a 不能仅因放大器输入阻抗高而自动消除。只有在放大器虚地、环路增益足够高且频率足够高（远高于泄漏截止频率）等条件下，R_a 的影响才可近似忽略，将 C_a、C_c、C_i 合并为电容 C 后进行分析；低频与长时间保持时，输出仍受 R_a 泄漏和反馈电阻限制。

电路的“高频”是相对于电荷泄漏截止频率而言，仍需低于机械共振和放大器有效带宽。在有限漏电的实际测量系统中，恒定力加载后的输出随时间衰减至零；这不表示压电材料在恒定应力下从未产生极化。