压电系数

压电系数的定义与下标约定

压电系数是衡量压电材料压电效应强弱的参数，直接影响压电输出的灵敏度。在正压电效应中，它把作用力（或应力）与产生的电荷联系起来。

压电系数记作 $d_{mn}$，其中：

• 下标 $m$ 表示产生电荷面的轴向，即取电轴；
• 下标 $n$ 表示施加作用力的轴向，即施力轴。

$m$、$n$ 取 1、2、3 时分别对应 $x$、$y$、$z$ 轴方向；$n$ 取 4、5、6 时分别对应 $yz$、$zx$、$xy$ 平面上的剪切应力。$d_{mn}$ 的物理意义是：材料在 $n$ 向受力时，在 $m$ 向产生的电荷。若 $d_{mn}=0$，则 $n$ 向应力在 $m$ 向不产生电荷耦合；但同一受力方向（同一 $n$ 列）可能通过其他非零元素在其他取电方向产生压电效应，不能仅凭单个元素为零断言该受力方向整体无压电效应。

石英晶体的三轴与受力—电荷关系

石英晶体取 $x$ 轴为电轴，$y$ 轴为机械轴，$z$ 轴为光轴（中性轴）。在下面沿 $x$ 轴或 $y$ 轴施加正应力的纵向、横向压电效应示例中，电荷集聚在与 $x$ 轴垂直的两个表面上；但该结论只适用于这两个正应力示例，不适用于剪切应力激励——由后文矩阵可知，剪切应力 $d_{25}$、$d_{26}$ 对应的电荷集聚面为与 $y$ 轴垂直的表面。

沿 $x$ 轴（电轴）施加作用力 $F_x$ 时，在与 $x$ 轴垂直的平面上产生电荷，即纵向压电效应：

式中 $d_{11}$ 为 $x$ 方向受力的压电系数，单位 C·N⁻¹；$F_x$ 为 $x$ 轴方向作用力，单位 N。电荷 $Q_x$ 的符号视 $F_x$ 为压力或拉力而定。该式表明，沿电轴方向受力时产生的电荷量大小与切片的几何尺寸无关。

沿 $y$ 轴（机械轴）施加作用力 $F_y$ 时，电荷仍产生在与 $x$ 轴垂直的平面上，但极性方向相反，即横向压电效应：

式中 $d_{12}$ 为 $y$ 方向受力的压电系数，石英轴对称使 $d_{12}=-d_{11}$；$a$、$b$ 分别为切片的长度和厚度；$F_y$ 为 $y$ 轴方向作用力。该式表明，沿机械轴受力时产生的电荷量与切片几何尺寸有关：相同作用力下，切片越长、越薄，产生的电荷量越多，压电效应越明显。式中的“−”号说明沿 $y$ 轴的压力（或拉力）所引起的电荷极性与沿 $x$ 轴的压力（或拉力）所引起的电荷极性相反。

在本卡石英晶轴和小信号线性矩阵约定下，若仅施加 $z$ 向正应力且其他应力分量为零，对应第三列全为零，因此该单独正应力不产生此模型中的压电电荷；不能推广到含剪切或其他应力分量的任意加载。

石英晶体的 3×6 压电系数矩阵

石英晶体的压电特性可用一个 $3\times 6$ 的压电系数矩阵表示，元素为 $d_{ij}$（$i=1,2,3$；$j=1,2,3,4,5,6$）。矩阵的行对应取电轴（产生电荷的方向），列对应施力方向（三个正应力分量与三个剪切应力分量）。

石英晶体实际只有 $d_{11}$ 和 $d_{14}$ 两个独立压电系数，矩阵中非零元素位于 $d_{11}$、$d_{12}$、$d_{14}$（第一行）以及 $d_{25}$、$d_{26}$（第二行）。其中 $d_{12}=-d_{11}$，$d_{25}=-d_{14}$，$d_{26}=-2d_{11}$。其余元素为零，即这些应力分量不在对应取电方向产生电荷耦合；但同一受力方向（同一列）可能通过其他非零元素在其他取电方向产生压电效应，不能仅凭单个元素为零断言该受力方向整体无压电效应。

对于左旋和右旋石英，$d_{11}$ 与 $d_{14}$ 的数值大小相同但符号相反。

压电陶瓷的压电系数

压电陶瓷经极化处理后具有压电效应。其极化方向定为 $z$ 轴（下标 3，即对称轴）；垂直于 $z$ 轴的平面内任意正交轴为 $x$ 轴和 $y$ 轴（下标 1 和 2），因此下标 1 和 2 可以互换。

压电陶瓷的正压电效应中，放电电荷量与外力大小成比例：

式中 $d_{33}$ 为沿极化轴方向受力、在同一方向取电的压电系数；$F$ 为沿极化轴方向的作用力。

压电陶瓷的压电系数比石英晶体大得多，压电效应更明显，因此用它做成的压电式传感器灵敏度较高；但其稳定性（压电系数会随时间增加或温度升高而减小，晶粒极化取向一致性降低、宏观剩余极化减弱，压电特性减弱甚至消失）和机械强度不如石英晶体。

压电系数在传感器输出中的位置

压电元件受正弦力 $f=F_m\sin \omega t$ 作用时，产生的电荷为

式中 $d$ 为相应受力方向下的压电系数，$F_m$ 为力幅值。对应开路电压为

式中 $C_a$ 为压电元件等效电容，$U_m={\displaystyle \frac{d{F}_m}{C_a}}$ 为输出电压幅值。可见压电系数越大，相同力下产生的电荷和电压越大。

在压电式加速度传感器中，质量块 $m$ 受惯性力 $f=ma$ 作用于压电片上，输出电荷为

式中 $m$ 为质量块质量，$a$ 为加速度。该式在振动频率远低于传感器固有频率时成立，且不能测量零频率信号。