幅频特性

频率响应函数的由来

线性时不变传感器的动态特性可用常系数线性微分方程描述，其传递函数为 H(s)。当输入为正弦信号时，令 s=jω（ω 为输入信号的角频率，单位 rad/s），即得频率响应函数

其中模 $A(\omega )=\mathrm{\mid }H(\mathrm{j}\omega )\mathrm{\mid }$ 称为幅频特性，相角 $\phi (\omega )$ 称为相频特性。若记 $H(\mathrm{j}\omega )=H_{\mathrm{R}}(\omega )+\mathrm{j}{H}_{\mathrm{I}}(\omega )$，则

幅频特性描述传感器对不同频率正弦输入的幅值传递能力，相频特性描述相位滞后。

一阶传感器的幅频特性

一阶传感器微分方程为 $\tau {\displaystyle \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}}+y(t)=S_{\mathrm{n}}x(t)$，其中 τ 为时间常数（单位 s），$S_{\mathrm{n}}=b_0\mathrm{/}{a}_0$ 为静态灵敏度。其传递函数为

令 s=jω 得频率响应函数 $H(\mathrm{j}\omega )={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{n}}}{\tau (\mathrm{j}\omega )+1}}$，于是

$S_{\mathrm{n}}$ 只使输出幅值放大 $S_{\mathrm{n}}$ 倍，为讨论方便常令 $S_{\mathrm{n}}=1$。相频特性为负值，表示输出滞后输入。

当 $\omega \tau \ll 1$ 时，$A(\omega )\approx 1$，输出与输入幅值几乎相等，呈线性关系；$\phi (\omega )$ 很小，$\tan \phi \approx \phi$，故 $\phi (\omega )\approx -\omega \tau$，相位差与频率成线性关系。此时测试无失真，输出真实反映输入变化。τ 越小，$A(\omega )$ 越接近常数 1，$\phi (\omega )$ 越接近 0，频率响应特性越好，因此减小 τ 是改善一阶传感器频响的有效手段。

二阶传感器的幅频特性

典型二阶传感器微分方程为 $a_2{\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{2}y(t)}{\mathrm{d}{t}^2}}+a_1{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}}+a_{0}y(t)=b_{0}x(t)$。令 s=jω 得频率响应函数

其中 $S_{\mathrm{n}}=b_0\mathrm{/}{a}_0$ 为静态灵敏度（可令 $S_{\mathrm{n}}=1$）；${\omega }_{\mathrm{n}}=\sqrt{a_0\mathrm{/}{a}_2}=1\mathrm{/}\tau$ 为固有角频率（单位 rad/s），$\tau =\sqrt{a_2\mathrm{/}{a}_0}$ 为时间常数；$\zeta ={\displaystyle \frac{a_1}{2\sqrt{a_0{a}_2}}}$ 为阻尼比（无量纲）。由此得

幅频、相频特性均取决于阻尼比 ζ 和频率比 $\omega \mathrm{/}{\omega }_{\mathrm{n}}$。

二阶频响的规律与参数选取

按阻尼大小可分：ζ>1 过阻尼，ζ=1 临界阻尼，ζ<1 欠阻尼，ζ=0 无阻尼（等幅振荡），ζ<0 响应发散。

当 且 ${\omega }_{\mathrm{n}}\gg \omega$ 时，$A(\omega )\approx 1$（常数），$\phi (\omega )$ 很小且 $\phi (\omega )\approx -2\zeta {\displaystyle \frac{\omega }{{\omega }_{\mathrm{n}}}}$，相位差与角频率成线性关系，输出真实再现输入波形。在 $\omega ={\omega }_{\mathrm{n}}$ 附近系统发生共振，幅频特性受阻尼比影响极大，实际测量应避免。

为使测试结果精确再现被测波形，设计时须使 ζ<1，且固有角频率至少为被测信号角频率的 3~5 倍，即 ${\omega }_{\mathrm{n}}⩾(3\sim 5)\omega$。对非周期信号，可分解为各次谐波，若 ${\omega }_{\mathrm{n}}$ 不低于最高谐波角频率 ${\omega }_{\max }$ 的 3~5 倍即可作为频带选择的经验起点，最终须按允许幅相误差验算；若被测波形与正弦波相差不大，${\omega }_{\max }$ 可用基频的 2~3 倍代替，故保证 ${\omega }_{\mathrm{n}}⩾10\omega$（ω 为被测信号基频）即可。

阻尼比 ζ 的选取服务于幅频平坦和相频近似直线：推荐取 0.6~0.7，此时幅频特性平坦部分最宽，相频特性在最宽频率范围内接近直线；阻尼比约0.707是典型二阶低通幅频平坦性的设计选择，阶跃速度、超调和允许误差目标不同，最优取值也不同。

适用范围

上述幅频、相频表达式适用于可用常系数线性微分方程描述的线性时不变传感器，且输入为正弦信号、系统处于稳态。

相位计算须保留复数象限：一般用 $\phi =\mathrm{atan2}(H_{\mathrm{I}},H_{\mathrm{R}})$。上面的单参数反正切商式仅在实部为正的频段直接成立；对正增益二阶低通，低于固有角频率可直接取负反正切，等于该频率时相位为 $-\pi \mathrm{/}2$，高于时须选取连续的 $(-\pi ,-\pi \mathrm{/}2)$ 分支，不能遗漏象限修正。幅值增益的单位为输出单位与输入单位之比，只有同量纲或归一化时才是无量纲。