二阶传感器

二阶传感器的微分方程与传递函数

绝大多数传感器的输入输出关系可用零阶、一阶或二阶微分方程描述。二阶传感器的典型微分方程为

其中 $x(t)$ 为输入量，$y(t)$ 为输出量，$a_2$、$a_1$、$a_0$、$b_0$ 为由传感器结构决定的常数。

在零初始条件下作拉普拉斯变换，得传递函数

其中三个关键参数由方程系数决定：

• $K=b_0\mathrm{/}{a}_0$ 为静态灵敏度，量纲为输出量/输入量；
• ${\omega }_n=\sqrt{a_0\mathrm{/}{a}_2}$ 为固有频率，单位 rad/s；
• $\zeta ={\displaystyle \frac{a_1}{2\sqrt{a_0{a}_2}}}$ 为阻尼比，无量纲。

阶跃响应与阻尼比的影响

对单位阶跃输入，取 $K=1$，欠阻尼（）时单位阶跃响应为

式中 ${\omega }_n$ 是时间 $t$ 的系数，决定系统响应速度：${\omega }_n$ 越大，响应越快。振荡角频率为 $\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_n$，即阻尼使振荡频率低于固有频率。

阻尼比 $\zeta$ 决定响应形态：

• $\zeta =0$：无衰减等幅振荡；
• ：衰减振荡，存在超调；
• $\zeta \ge 1$：单调上升，无超调。

工程上需兼顾超调量与上升时间，一般取 $\zeta =0.6\sim 0.8$。

正弦频率响应

将传递函数中的 $s$ 代以 $j\omega$，得频率特性 $H(j\omega )$，其幅频特性和相频特性分别为

两者均依赖于阻尼比 $\zeta$ 和频率比 $\omega \mathrm{/}{\omega }_n$。

三类系统对比

• 零阶系统：$a_{0}y=b_{0}x$，对任何输入均呈比例输出，关键参数为静态灵敏度 $K$。
• 一阶系统：$a_1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+a_{0}y=b_{0}x$，关键参数为时间常数 $\tau$，$\tau$ 越小越好，阶跃上升时间与正弦频响均取决于 $\tau$。
• 二阶系统：关键参数为固有频率 ${\omega }_n$（宜大）和阻尼比 $\zeta$（取 0.6~0.7）。阶跃响应速度由 ${\omega }_n$ 决定，超调量和振荡次数由 $\zeta$ 决定；正弦频率响应需同时考虑 ${\omega }_n$ 和 $\zeta$。

相位计算须保留复数象限：一般用 $\phi =\mathrm{atan2}(H_{\mathrm{I}},H_{\mathrm{R}})$。上面的单参数反正切商式仅在实部为正的频段直接成立；对正增益二阶低通，低于固有角频率可直接取负反正切，等于该频率时相位为 $-\pi \mathrm{/}2$，高于时须选取连续的 $(-\pi ,-\pi \mathrm{/}2)$ 分支，不能遗漏象限修正。幅值增益的单位为输出单位与输入单位之比，只有同量纲或归一化时才是无量纲。