二阶动态参数辨识

适用对象与前提

二阶传感器的动态特性可用阻尼比 ζ（无量纲）和固有频率 ωn（单位 rad/s）两个参数描述。动态标定/辨识的任务就是通过实验确定这两个参数。本方法适用于二阶欠阻尼系统（0<ζ<1），其单位阶跃响应为衰减振荡并最终趋于稳态值。

单位阶跃响应与两个特征量

对二阶系统施加单位阶跃输入（幅值为 1，如单位力 F=1），输出 y(t) 呈衰减振荡。定义两个可直接从记录曲线上读出的特征量：

• 峰值时间 tp：输出第一次到达最大值的时间；
• 超调量 σ：第一个峰值超出稳态值的相对量，通常以百分数表示。

超调量只与阻尼比有关

对二阶欠阻尼阶跃响应求导并令 y′(t)=0，可得峰值时间
$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}$
将 tp 代回响应表达式，得到最大超调量
$\sigma =e^{-\pi \zeta \mathrm{/}\sqrt{1-{\zeta }^2}}$
该式表明 σ 仅是 ζ 的函数，与 ωn 无关。这是先由 σ 求 ζ 的依据。

由超调量反求阻尼比

对 σ 的表达式取自然对数并整理，得
$\zeta =\frac{1}{\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\pi }{\ln \sigma }}\right)}^2+1}}$
式中 σ 为超调量（用比值而非百分数代入，即 σ=0.3 对应 30%），ln 为自然对数。

由峰值时间与阻尼比求固有频率

由 tp 的表达式解出
${\omega }_n=\frac{\pi }{t_p\sqrt{1-{\zeta }^2}}$
式中 tp 单位为 s，ωn 单位为 rad/s。ζ 已由上一步得到，故可算出 ωn。

辨识流程与多次测量

1. 施加单位阶跃（单位力 F=1）输入，记录输出波形；
2. 从波形读出首峰时间 tp 与超调量 σ；
3. 由 σ 按上式算 ζ；
4. 由 tp 与 ζ 按上式算 ωn；
5. 重复多次测量，对结果取平均值以减小随机误差。

条件与适用范围

上述公式建立在标准二阶欠阻尼线性系统、单位阶跃输入、无零点影响的前提下。若 ζ 接近或大于 1（过阻尼、临界阻尼），响应不出现超调，σ 与 tp 无法按上述关系定义，本方法不适用。σ 很小时 lnσ 趋于负无穷，ζ 对 σ 的读数误差敏感，故需保证峰值测量精度。