标准差

定义与物理含义

标准差（也称方均根偏差）是描述随机误差分散程度的数字特征量。对同一被测量在等精度条件下进行n次测量，得到测量值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，对应随机误差 ${\delta }_i=x_i-L$（$L$ 为真值），则总体标准差定义为

式中 $X$ 为测量随机变量，$E$ 为数学期望。对同一被测量在等精度条件下进行n次测量，得到测量值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，对应随机误差 ${\delta }_i=x_i-L$（$L$ 为真值），有限次真值残差的均方根 $\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-L{)}^2}{n}}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{\delta }_i^2}{n}}$ 是样本统计量，不是总体标准差；当 $L$ 与 $EX$ 不同时，它还包含偏差。式中 $n$ 为测量次数，$x_i$ 为第i次测量值，$L$ 为真值，${\delta }_i$ 为第i次测量的随机误差。σ的量纲与被测量相同。

在正态分布密度函数中的角色

随机误差近似服从正态分布，其概率密度函数为

记作 $\delta \sim N(0,{\sigma }^2)$。式中 $\sigma$ 是正态分布的特征参数（标准差），$\delta$ 为随机误差。σ只改变曲线的宽度而不改变峰值位置：σ越小，曲线越陡峭、峰值越高，随机变量分散性越小，测量越接近真值L，精度越高；σ越大，曲线越平坦，分散性越大，精度越低。当 ${\sigma }_1>{\sigma }_2>{\sigma }_3$ 时，对应曲线由宽平逐渐变为窄陡。

标准差与测量精密度

精度是反映测量结果与真值接近程度的量，通常针对同一被测量的多次测量结果而言。其中精密度反映随机误差的影响程度，即测量结果的分散程度，由σ决定；标准差只描述分散程度，不单独量化偏差或总接近真值的质量。σ小则精密度高，σ大则精密度低。精密度高不代表准确度高（准确度由系统误差决定），二者相互独立。

总体σ与样本估计的区分

实际测量中真值L无法知道，总体标准差σ是未知且恒定的。若用测量值的算术平均值 $\bar{x}$ 代替真值，各测量值与算术平均值的差值称为残余误差 $v_i=x_i-\bar{x}$。

若直接用真值误差的平方和除以n来估计，即 $S=\sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i-A_0{)}^2}$，需要真值 $A_0$ 已知。当真值未知而用均值代替时，由于

即用均值代替真值后平方和减小，因此 $S^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$ 会低估标准差。为得到无偏估计，将分母由n修正为n-1，得到贝塞尔公式

贝塞尔分母修正使样本方差无偏，样本标准差本身一般并不无偏；有限样本计算所得均方根是估计量，不能与未知总体参数直接恒等。分母取n-1的原因在于：由 $\sum v_i=0$ 可知，只要计算出n-1个残余误差，剩下一个不具有独立性，存在一个约束条件，故自由度为n-1。

算术平均值的标准差

多次测量以算术平均值作为测量结果。算术平均值的标准差 ${\sigma }_{\bar{x}}$ 与单次测量标准差 ${\sigma }_s$ 的关系为

在 ${\sigma }_s$ 不变时，n增大则 ${\sigma }_{\bar{x}}$ 减小，测量精度提高。但n达到一定数目后，${\sigma }_{\bar{x}}$ 下降很慢；测量次数应由目标标准误差及数据相关性、成本确定，不能普遍规定为5~10。

在重复性误差中的表示

重复性误差属于随机误差，常用标准差σ表示。其计算公式为

式中 $\mathrm{\Delta }{R}_{max}$ 为正、反行程多次循环测量各测试点最大偏差中的较大者，$Y_{FS}$ 为满量程输出。

与置信概率的关系

误差区间常表示为σ的倍数 $t\sigma$，t为置信系数，P为置信概率。对称区间概率为

典型值：t=1时P=0.6827；t=2时P=0.9545；t=3时P=0.9973。即随机误差出现在 $\pm 3\sigma$ 内的概率为99.73%，$\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }>3\sigma$ 的概率仅0.27%。超3σ的正常正态观测概率非零，该阈值只是调查线索；估计σ和多重检验条件影响误判，不能仅凭超3σ自动证明粗大误差。

贝塞尔分母修正使样本方差无偏，样本标准差本身一般并不无偏；有限样本计算所得均方根是估计量，不能与未知总体参数直接恒等。均值标准误差 $s\mathrm{/}\sqrt{n}$ 是独立同分布条件下的估计；均值趋于真值还需误差零均值。正态总体已知标准差时可用正态区间，未知标准差且小样本时均值区间应使用相应t分布系数，不能直接把1σ、3σ覆盖概率当作任意小样本的严格置信概率。