阿贝-赫梅特准则（课件）

定义与用途

阿贝-赫梅特准则（Abbe-Helmert criterion）是一种用于检验等精度测量列中是否存在的统计判据。它通过考察残差序列中相邻两项的相关性来发现周期性成分：若周期性系差存在，相邻残差往往同号且乘积偏大，使统计量 A 增大。

计算步骤

1. 进行 n 次等精度测量，得到测量值 x₁, x₂, …, xₙ。
2. 计算算术平均值 x̄ = (1/n)Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ，并求各残差 vᵢ = xᵢ − x̄。
3. 计算统计量 A，定义为相邻残差乘积之和的绝对值：

其中 vᵢ 与 vᵢ₊₁ 为相邻两次测量的残差，单位与测量值相同；A 的单位为测量值单位的平方。

1. 计算残差均方根值 RMS（注意与样本标准差区分）：

若采用样本标准差 s（Bessel 公式，分母 n−1）作为随机误差尺度的估计，则

两者分母不同，不可混用；本章后续涉及残差 RMS 处按 n 分母定义，判定阈值须与所选尺度一致。

判定准则

在残差近似独立、同分布且无周期性成分的零假设下，带符号的相邻乘积和在理想零均值独立噪声模型下以零为中心（使用样本均值构造残差还会引入小样本相关性）；其绝对值A不能直接按(n−1)(RMS)²作为期望；当

时，只可作为教材给定噪声模型下进一步检查相邻相关的经验提示，不能据此宣称具有某个已确定的显著性水平。由于A取绝对值，超阈值可能来自正相关或负相关；周期性或漂移都需进一步检验，未超阈值不证明无系统误差。正式显著性判断应给出对应零假设、统计量分布与临界值。

符号与条件

• n：等精度测量次数，n 应足够大以保证判据有效。
• vᵢ：第 i 个残差，vᵢ = xᵢ − x̄。
• RMS：残差均方根值（分母 n），反映随机误差的分散程度；若用样本标准差 s（分母 n−1）须另行说明，二者不可混用。
• 阈值 √(n−1)(RMS)² 随 n 与随机误差水平变化，且以残差独立同分布、无周期性成分为零假设。

适用范围

该准则适用于等精度测量、残差序列按测量顺序排列的情形，用于判断周期性系差是否显著。它不给出周期的大小或相位，只作“有/无”的显著性提示；算术平均残差可消除恒定系差，但线性漂移会使相邻残差呈现同号趋势、显著增大相邻相关量，故不能笼统声称对线性漂移不敏感。

残差准则提供趋势或相关性的检查线索，不足以唯一证明周期系统误差；未超阈值也不保证完全无系统偏差。前后组的带符号统计量应按幅值与规定噪声尺度、显著性条件比较，不能只用M大于某个带符号残差作普适判据。半周期平均仅在误差满足 $e(t+T\mathrm{/}2)=-e(t)$ 时抵消该分量，任意周期函数不一定满足。未知系统误差不能直接当作零均值随机误差。