等精度测量

定义与条件

等精度测量指在同一测量环境下，由相同的测量人员、用相同仪表与相同测量方法，对同一被测量进行多次重复测量。其对立面是非等精度测量：用不同精度的仪表、不同的测量方法、不同的测量人员，或在环境条件相差很大时对同一被测量进行多次重复测量，此时各测量结果的可靠程度不同，可用“权”表示对应测量结果的可依赖程度。

等精度测量的“等精度”是对整组测量条件的限定，而不是对单个测量值的限定。等精度强调各次测量误差统计精度相同或可近似视为相同；操作条件相同是常用保障，条件的微小变化不自动意味着精度不同。

n 次等精度测量与平均值、残差

在等精度测量情况下得到 n 个测量值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，对应的随机误差分别为 ${\delta }_1,{\delta }_2,\cdots ,{\delta }_n$。这组测量值和随机误差都是随机事件，可用概率统计方法处理。

第 i 次测量结果可表示为真值 $A_0$ 与随机误差 ${\delta }_i$ 之和：

n 次测量的算术平均值为

各测量值的残差（残余误差）为

其中 $x_i$ 为第 i 次测量值，$\bar{x}$ 为算术平均值，$v_i$ 为残差，n 为测量次数。

用平均值削弱随机误差

随机误差常被假定服从正态分布，此时具有单峰性、对称性和抵偿性等常用描述；这些性质是特定模型下的常用描述，并非任意随机误差的一般性质，且正态模型本身无有限支撑界限。抵偿性指在相同条件下，当测量次数趋于无穷大时，随机误差的算术平均值依概率趋于零。

由 $x_i=A_0+{\delta }_i$ 可得

即平均值等于真值加上随机误差的算术平均值。根据辛钦大数定理，相互独立、同分布且数学期望有限的随机变量序列，其均值依概率收敛于期望值。当测量次数 n 足够大时，随机误差的平均值依概率趋于零，从而使测量平均值 $\bar{x}$ 依概率收敛于真值 $A_0$。因此，多次测量求平均值是削弱随机误差的方法之一，但该方法仅在允许多次重复测量时可用。

用均值残差估计标准差

随机误差通常服从正态分布，其分布密度函数可写为

其中 $y$ 为概率密度，$\delta$ 为随机误差，$\sigma$ 为标准差。

样本标准差 S 本应基于真值 $A_0$ 计算，但真值通常未知。若用样本均值 $\bar{x}$ 代替真值计算，由于

所得结果会低估标准差。为得到无偏估计量 $\widehat{\sigma }$，将分母由 n 修正为 n−1，即

其中 $v_i=x_i-\bar{x}$ 为残差，n 为测量次数，$\widehat{\sigma }$ 为按 n−1 修正后得到的样本标准差估计量。n−1 修正使样本方差无偏，但开平方后的样本标准差一般不是总体标准差的无偏估计，故不能断言 $E(\widehat{\sigma })=\sigma$。该式即由均值残差估计重复测量标准差的基本形式。

等精度条件在误差处理中的适用范围

等精度测量是随机误差统计处理的前提条件。只有在等精度条件下，n 个测量值才可视为同一分布的随机变量，算术平均值才可作为最可靠测量结果，残差平方和最小才对应标准差估计最小、精度最高。

在粗大误差判别中，拉依达准则（3σ 准则）以 3σ 作为极限误差：若某测量值的残余误差绝对值 $\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }>3\sigma$，则认为该值含有粗大误差，应舍弃。肖维勒准则同样以正态分布为前提，当某测量值的残余误差 $\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }>Z_c\sigma$ 时舍弃该值，$Z_c$ 的选取与测量列中测量值个数 n 有关。这些判别均建立在等精度测量所得测量列的基础上。

在最小二乘法中，对 y 进行 n 次等精度测量得到 n 个测量值 $l_i$，其残余误差方程为 $v_i=l_i-{\widehat{y}}_i$，最小二乘法要求 $\min {\sum }_{i=1}^n{v}_i^2$。当 $n>m$ 时，通过增加等精度测量次数抵偿随机误差对测量结果的影响，使残余误差二次方和最小，从而得到最可信赖值。

均值趋于真值还要求随机误差期望为零，独立同分布和有限期望只保证均值趋于总体期望，不能消除系统偏差。