累进系统误差

定义与归属

系统误差指在同一条件下多次测量同一量时，误差大小和符号保持恒定，或在条件改变时按某一确定的已知函数规律变化而产生的误差。按变化规律，系统误差分为恒定系差与变值系差；变值系差又分为累进系差、周期性系差等。

累进系差（又称累计系差）是变值系差的一种，其特征是：在整个测量过程中，误差的数值不断增大或不断减小，即误差随测量顺序（或时间、测点序号）呈单调变化趋势。

产生原因与典型来源

累进系差通常来自测量过程中随时间单调变化的因素，例如：测量仪器或标准器随时间的漂移、元件随温度或工作时间产生的单向变化、被测对象本身随时间的单向变化（如温升、放电、磨损）——仅当该变化未被纳入测量模型、仍按恒定量处理时，才表现为误差、以及测量条件（电源、环境温度）的单向漂移。这些因素使每次测量的误差相对于前一次系统性地偏大或偏小，从而在测量序列上表现为累进。

残差与发现线索

对同一被测量进行 $n$ 次等精度测量，得到按测量先后顺序排列的测量值 $x_1,x_2,\dots ,x_n$。

算术平均值为

各测量值的残差为

其中 $x_i$ 为第 $i$ 次测量值，$\bar{x}$ 为测量列平均值，$v_i$ 为第 $i$ 个残差，单位与被测量相同。

若测量中不含变值系统误差，残差应表现为随机分布，前后各半的残差之和不应有明显差异。若存在累进系差，残差会随测量顺序呈现同向偏置，使前一半残差之和与后一半残差之和出现明显差异。因此，残差前后两组的差异是发现累进系差的基本线索。

马利科夫准则

马利科夫准则用于判断测量数据中是否含有线性（累进）系统误差。做法是：将按测量先后顺序得到的残差分成前后两组，分别求和，再求两组和的差值 $M$。

分组规则：设测量次数为 $n$，当 $n$ 为偶数时取 $k=n\mathrm{/}2$；当 $n$ 为奇数时取 $k=(n+1)\mathrm{/}2$，即前一组多取一个残差。

其中 $k$ 为前一组所含残差个数，$v_i$ 为按测量顺序排列的残差，$M$ 为前后两组残差和之差，单位与被测量相同。

判据：

• 若 $M$ 的幅值未超过规定噪声尺度与显著性条件，则未检测出累进（累计）误差，但不能据此保证不存在累进或其他系统偏差；
• 若 $M$ 的幅值超过规定噪声尺度并满足显著性条件，则判定存在累进误差；
• 若 $M$ 的幅值介于两者之间，则不能确定。

该准则的适用范围是：测量按先后顺序排列、等精度测量，且主要针对线性变化的累进系差。

与其他准则的关系

阿贝准则用于检查残差序列的随机性/相关性，若偏离则可能存在变化的系统误差。其计算量为

若

则可能存在变化的系统误差。其中 $A$、$B$ 为按残差序列计算的量，$n$ 为测量次数。阿贝准则针对的是变化的系统误差整体，不专门区分累进与周期；马利科夫准则则更直接地针对累进（线性）系差。

消除与修正

系统误差不可能绝对消除，只能根据其产生原因和变化规律尽量减小或修正。对累进系差，常用措施包括：

• 消除产生根源：测量前检查仪表、正确调整安装、防止外界干扰、选择稳定环境条件。
• 在测量系统中采用补偿措施：找出误差规律后选用适当测量方法，如对恒定系差可用标准量替代法、测量条件交换法、反向补偿法；对周期性系差可用半周期偶数测量法。
• 实时反馈修正：当误差因素对结果影响明显时，找出其影响测量结果的函数关系或近似函数关系，对结果进行实时自动修正。
• 在测量结果中进行修正：对已知系统误差用修正值修正；对变值系统误差找出变化规律，用修正公式或修正曲线修正；对未知系统误差则须建模其可能范围与不确定度，不能因未知就视为零均值随机量。

残差准则提供趋势或相关性的检查线索，不足以唯一证明周期系统误差；未超阈值也不保证完全无系统偏差。前后组的带符号统计量应按幅值与规定噪声尺度、显著性条件比较，不能只用M大于某个带符号残差作普适判据。半周期平均仅在误差满足 $e(t+T\mathrm{/}2)=-e(t)$ 时抵消该分量，任意周期函数不一定满足。未知系统误差不能直接当作零均值随机误差。