算术平均值

定义与基本关系

算术平均值是对同一被测量在相同条件下进行 n 次等精度独立测量所得测量值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的算术平均：

式中 $x_i$ 为第 i 次测量值，n 为测量次数，$\bar{x}$ 为算术平均值，与被测量同量纲。

用算术平均值估计真值的依据

在等精度测量中，第 i 次测量结果可表示为真值 $A_0$ 与随机误差 ${\delta }_i$ 之和：

对 n 次测量取平均：

即算术平均值等于真值加上随机误差的算术平均值。当测量次数 n 足够大时，随机误差的平均值依概率趋于零，$\bar{x}$ 依概率收敛于真值 $A_0$。这一结论基于辛钦大数定理：相互独立、同分布且数学期望有限的随机变量序列，其均值依概率收敛于期望值。因此，算术平均值反映了随机变量的分布中心，可作为未知真值的估计。

有限样本下的偏移

上述收敛是概率意义下的极限结论。在测量次数有限时，算术平均值不保证等于被测量的真值 $A_0$，二者之间可有偏移。若进行 m 组各 n 次的“多次测量”，各组算术平均值 ${\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2,\cdots ,{\bar{x}}_m$ 本身也围绕真值 L 波动，但波动范围比单次测量小。算术平均值的标准差 ${\sigma }_{\bar{x}}$ 与单次测量标准差估计值 ${\sigma }_s$ 的关系为：

式中 ${\sigma }_s$ 为单次测量标准差的估计值（贝塞尔公式），n 为每组测量次数。n 增大时 ${\sigma }_{\bar{x}}$ 减小，测量精度提高；但 n 达到一定数目后 ${\sigma }_{\bar{x}}$ 下降很慢，故不能单靠无限增加测量次数提高精度。实际测量次数需根据噪声与相关性、目标不确定度及测量成本等条件确定，不存在普适的充分次数规则。

残余误差与标准差估计

各测量值与算术平均值的差值称为残余误差：

由残余误差可计算标准差的估计值，即贝塞尔公式：

分母取 n-1 的原因：由 ${\sum }_{i=1}^n{v}_i={\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})=n\bar{x}-n\bar{x}=0$ 可知，n 个残余误差中只有 n-1 个独立，故在此约束条件下分母为 n-1。

用样本均值 $\bar{x}$ 代替真值 $A_0$ 计算标准差会低估总体标准差，因为 $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2\le \sum (x_i-A_0{)}^2$；引入分母 n-1 后，样本方差 $s^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}$ 是总体方差 ${\sigma }^2$ 的无偏估计，即 $E(s^2)={\sigma }^2$。但对其开方所得样本标准差 $s$ 一般不是总体标准差 $\sigma$ 的无偏估计，即通常 $E(s)\mathrm{\ne }\sigma$。

在拟合与标定中的用途

在静态特性线性度的平均选点法拟合中，将特性曲线上的若干点分为前后两组，分别求两组点的平均点（x、y 坐标分别平均），连接两个平均点即得拟合直线。

在动态标定中，对二阶系统施加单位力 F=1，测量输出并记录峰值时间 $t_p$ 与超调量 $\sigma$，利用公式计算阻尼比 $\zeta$ 和固有频率 ${\omega }_n$ 后，通过多次测量求平均值得到最终标定结果。

在最小二乘法中，估计值 ${\widehat{y}}_i$ 是由拟合模型和测量值确定的估计值，不是真值，一般也不是全体观测值的同一算术平均值；它用于构造残余误差方程，最小二乘法要求残余误差二次方和最小，即 $\min {\sum }_{i=1}^n{v}_i^2$。根据贝塞尔公式，在给定模型下残余误差二次方和最小意味着该模型参数下测量结果的标准差估计值最小；但最小二乘只保证给定模型残差平方和最小，不保证模型正确，也不保证拟合线最接近真值。