随机误差处理

随机误差的统计模型

测量实践中，随机误差由大量相互独立的微小作用因素引起。根据李雅普诺夫中心极限定理，若一个随机变量是大量相互独立随机变量之和，且各被加项对总和的贡献一致地小、各自方差有限，则标准化后的和依分布收敛于标准正态分布；在密度存在且满足相应局部极限条件的场合，其概率密度函数近似为高斯密度。因此随机误差近似服从均值为零的正态分布，记为 $\delta \sim N(0,{\sigma }^2)$，其概率密度函数为

其中 $\delta$ 为随机误差，$\sigma$ 为标准差（单位与被测量相同）。该模型成立的条件是：误差由大量独立微小因素叠加而成，且各因素对误差的贡献均值为零。

标准差的概率含义

在正态分布模型下，随机误差落在以零为中心的 $\sigma$ 倍数区间内的概率是确定的：

• $\pm 1\sigma$ 区间约包含 68% 的数据；
• $\pm 2\sigma$ 区间约包含 95% 的数据；
• $\pm 3\sigma$ 区间约包含 99.7% 的数据。

$\sigma$ 越小，误差分布越集中，测量精密度越高。

标准差的估计

随机误差分布由测量中的各种未知影响因素决定，其总体标准差 $\sigma$ 未知且恒定。通过对分布进行抽样，获得每次实际测量结果中的误差，可计算样本标准差 $S$ 来估计 $\sigma$：

其中 $x_i$ 为第 $i$ 次测量结果，$A_0$ 为真值，$n$ 为测量次数。$S$ 的形式类似均方根误差，用于估计总体标准差 $\sigma$。

随机误差的削弱方法

方法一：改善测量条件。 尽可能消除产生随机误差的部分因素，从而减小标准差、提高精密度。例如分析天平配置防风罩、减震台、高精度传感器及低噪声电路，相比普通电子秤能显著降低随机误差。该方法会导致测量成本提高。

方法二：多次测量求平均值。 基于辛钦大数定理：相互独立、同分布且数学期望有限的随机变量序列，其均值依概率收敛于期望值。在等精度测量中，第 $i$ 次测量结果可表示为

$n$ 次测量的平均值 $\bar{x}$ 等于真值 $A_0$ 加上随机误差的算术平均值。当 $n$ 足够大时，随机误差的平均值依概率趋于零，$\bar{x}$ 依概率收敛于真值 $A_0$。此方法仅在允许多次重复测量的场合可用。

方法三：卡尔曼滤波等信号处理方法。 适用于无法进行多次等精度测量的动态情形，例如卫星轨道随时间变化时无法重复同一条件下的测量。卡尔曼滤波利用信号处理手段对含噪数据进行平滑估计，抑制随机误差的影响。

贝塞尔分母修正使样本方差无偏，样本标准差本身一般并不无偏；有限样本计算所得均方根是估计量，不能与未知总体参数直接恒等。均值标准误差 $s\mathrm{/}\sqrt{n}$ 是独立同分布条件下的估计；均值趋于真值还需误差零均值。正态总体已知标准差时可用正态区间，未知标准差且小样本时均值区间应使用相应t分布系数，不能直接把1σ、3σ覆盖概率当作任意小样本的严格置信概率。