中心极限定理

定理的两种表述

棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布的正态极限）：设随机变量 ${\eta }_n$ 服从参数为 $n,p$ 的二项分布，其中 固定（从而 $np(1-p)>0$ 且随 $n$ 增长），则当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，其标准化变量

的累积概率分布收敛于标准正态分布函数 $\mathrm{\Phi }(x)$。其中 $n$ 为试验次数，$p$ 为单次成功概率，$np$ 为二项分布的均值，$\sqrt{np(1-p)}$ 为标准差。该定理是中心极限定理在二项分布这一特殊情形下的结论。

李雅普诺夫中心极限定理（一般形式）：设 $X_1,X_2,\dots$ 相互独立，记 $S_n={\sum }_{k=1}^n{X}_k$，并设各 $X_k$ 的均值 ${\mu }_k$、方差 ${\sigma }_k^2$ 有限且 ${\sum }_{k=1}^n{\sigma }_k^2\to \mathrm{\infty }$（非退化）。对标准化和 $(S_n-{\sum }_{k=1}^n{\mu }_k)\mathrm{/}\sqrt{{\sum }_{k=1}^n{\sigma }_k^2}$，若满足李雅普诺夫矩条件（存在 $\delta >0$ 使 $\frac{1}{({\sum }_{k=1}^n{\sigma }_k^2{)}^{1+\delta \mathrm{/}2}}{\sum }_{k=1}^{n}E\mathrm{\mid }{X}_k-{\mu }_k{\mathrm{\mid }}^{2+\delta }\to 0$），则其分布函数收敛于标准正态分布函数 $\mathrm{\Phi }(x)$。即大量独立随机变量之和经中心化、标准化后分布趋于正态分布；分项须满足上述矩与极限条件，并非对任意分布都成立（例如独立同分布柯西变量之和标准化后仍非正态）。

与随机误差分布的联系

测量实践中的随机误差由大量、相互独立的微小作用因素引起，且各因素对误差的贡献均值为 0。依据中心极限定理，这些微小因素叠加后的总误差近似服从正态分布，其概率密度为

记为 $\delta \sim N(0,{\sigma }^2)$。其中 $\delta$ 为随机误差，$\sigma$ 为标准差（与被测量同量纲），${\sigma }^2$ 为方差。

适用条件

• 各分项相互独立；
• 各分项方差有限，且方差和随项数增长趋于无穷（非退化）；
• 分项数目足够多（理论上趋于无穷，实际中“大量”即可近似）；
• 单个分项对总和的贡献相对均匀、不占绝对主导，并满足相应的矩条件（如李雅普诺夫矩条件）。

满足上述条件时，总和经中心化、标准化后分布近似正态；分项数目不足、方差条件或矩条件不满足、存在强相关或个别主导项时，正态近似不成立。