置信概率

定义

在等精度重复测量中，随机误差通常服从正态分布。设测量列的标准差为σ，则随机误差v落在区间[-tσ, tσ]内的概率称为置信概率P，t称为置信系数。

概率计算

正态分布的概率密度函数为
$f(v)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{v^2}{2{\sigma }^2}}$
则误差落在区间[a,b)内的概率为

由于正态分布关于v=0对称，通常取对称区间[-tσ, tσ]，此时
$P(\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\le t\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-t\sigma }^{t\sigma }{e}^{-\frac{v^2}{2{\sigma }^2}}dv$
式中：v为随机误差；σ为标准差（单位与被测量相同）；t为置信系数（无量纲）；P为置信概率（无量纲，0到1之间）。

典型t值与置信概率

根据正态分布积分计算，常用t值对应的置信概率如下：

• t=0.6745时，P=0.5；
• t=1时，P=0.6827；
• t=1.96时，P=0.95；
• t=2时，P=0.9545；
• t=2.58时，P=0.99；
• t=3时，P=0.9973；
• t=4时，P=0.99994。

极限误差

由t=3时P=0.9973可知，随机误差绝对值超过3σ的概率仅为0.27%，属于小概率事件。因此工程上常将3σ作为极限误差，记为σ_lim，即认为绝对值大于3σ的误差出现概率很小（约0.27%），但并非绝对不可能出现。

测量结果的表示

根据选定的置信概率，测量结果可表示为
$x=\bar{x}\pm {\sigma }_{\bar{x}}(P=0.6827)$
或
$x=\bar{x}\pm 3{\sigma }_{\bar{x}}(P=0.9973)$
式中：x为测量结果；\overline{x}为算术平均值；σ_{\overline{x}}为算术平均值的标准差；P为置信概率。

适用范围

上述结论基于随机误差服从正态分布。当总体标准差σ已知时，可直接用正态分布计算置信概率，不要求测量次数足够多；当σ未知且测量次数较少时，需采用t分布等其他分布计算置信概率。

贝塞尔分母修正使样本方差无偏，样本标准差本身一般并不无偏；有限样本计算所得均方根是估计量，不能与未知总体参数直接恒等。均值标准误差 $s\mathrm{/}\sqrt{n}$ 是独立同分布条件下的估计；均值趋于真值还需误差零均值。正态总体已知标准差时可用正态区间，未知标准差且小样本时均值区间应使用相应t分布系数，不能直接把1σ、3σ覆盖概率当作任意小样本的严格置信概率。