置信系数

定义与来源

在正态分布描述的随机误差中，标准差 σ 是分布的特征参数。为把“误差落在某个范围内”的概率表述清楚，误差区间通常写成 σ 的倍数，即 ±tσ。这里的 t 称为置信系数，P 称为置信概率（置信水平）。

概率计算式

设随机误差为 v，服从均值为零、标准差为 σ 的正态分布，则 v 落在任意区间 [a, b] 内的概率为

由于正态分布关于均值对称，实际计算通常取对称区间，即

式中 t 为置信系数（无量纲），P 为置信概率，v 为随机误差，σ 为标准差，单位与测量值相同。

典型 t 值与对应概率

由表可见：t=1 时，随机误差出现在 −σ～σ 间的概率为 68.27%；t=3 时，出现在 −3σ～3σ 间的概率为 99.73%，相应地 |v|>3σ 的概率仅为 0.27%。

极限误差与测量结果表示

由于 |v|>3σ 的概率很小（约 0.27%），工程上常把 3σ 作为误差的实用界限，通常把 3σ 称为极限误差 σ_lim；但正态分布尾概率非零，该界限并非绝对不可能出现。

测量结果常表示为

或

式中 x 为测量结果，\bar{x} 为测量平均值，σ_{\bar{x}} 为平均值的标准差，P 为对应的置信概率。

适用范围

上述 t 值与 P 的对应关系建立在随机误差服从正态分布、且取对称区间的前提下。当分布形式不同或区间不对称时，同一 t 值对应的置信概率会改变。

贝塞尔分母修正使样本方差无偏，样本标准差本身一般并不无偏；有限样本计算所得均方根是估计量，不能与未知总体参数直接恒等。均值标准误差 $s\mathrm{/}\sqrt{n}$ 是独立同分布条件下的估计；均值趋于真值还需误差零均值。正态总体已知标准差时可用正态区间，未知标准差且小样本时均值区间应使用相应t分布系数，不能直接把1σ、3σ覆盖概率当作任意小样本的严格置信概率。