二项分布模型

物理模型与二项试验

落球实验可抽象为高尔顿板：小球自上而下经过若干层分流挡板，每层挡板使球以相同概率向左或向右进入下一层，最终落入底部一排竖直收集槽。设共有 $N$ 层挡板，$N$ 为偶数；每层向左、向右的概率均为 $1\mathrm{/}2$，各层结果相互独立，且球之间互不碰撞。

一次落球经过 $N$ 层挡板，相当于进行 $N$ 次独立的二项试验。每次试验只有“向左”和“向右”两种结果，成功概率 $p=1\mathrm{/}2$。令 $X$ 表示 $N$ 次试验中向右的次数，则 $X$ 服从参数为 $n=N$、$p=1\mathrm{/}2$ 的二项分布。

二项分布公式与落槽概率

二项分布的一般形式为

其中 $n$ 为试验次数，$k$ 为成功次数，$p$ 为单次成功概率，$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 为组合数。

在落球模型中，$p=1\mathrm{/}2$，因此

球落入最边缘一格，对应 $N$ 次全部向左或全部向右，其概率为

球落入靠里一格，对应 $k=1$ 或 $k=N-1$，其概率为

球落入最中间一格，对应 $k=N\mathrm{/}2$，其概率为

由于组合数 $C_N^k$ 在 $k=N\mathrm{/}2$ 附近最大，向两侧逐渐减小，因此概率从边缘向中心逐渐增大。在该对称二项模型（各层独立、左右概率均为 $1\mathrm{/}2$）中，这体现了“偏离中心越远出现概率越小”的统计特征；该规律并非所有随机误差的普遍性质，均匀或多峰误差并不具有此规律。

标准化与正态极限

设随机变量 ${\eta }_n$ 服从参数为 $n,p$ 的二项分布。其均值为 $np$，方差为 $np(1-p)$。标准化变量为

棣莫弗-拉普拉斯定理指出，当 $n$ 趋于无穷大时，该标准化变量的累积概率分布收敛于标准正态分布函数 $\mathrm{\Phi }(x)$。

在落球模型中 $p=1\mathrm{/}2$，均值为 $N\mathrm{/}2$，方差为 $N\mathrm{/}4$。当 $N$ 增大时，落球在各槽中的堆积高度由二项分布逐渐逼近钟形曲线，即中间高、两侧低的对称形态。

符号、单位与适用范围

• $N$：挡板层数，偶数，无量纲。
• $n$：二项试验次数，无量纲。
• $p$：单次试验成功概率，，无量纲。
• $k$：成功次数，整数，$0\le k\le n$。
• $X,{\eta }_n$：二项随机变量，无量纲。
• $C_n^k$：组合数，无量纲。
• $\mathrm{\Phi }(x)$：标准正态分布函数，无量纲。

该模型适用于各层独立、左右概率相等且球间无碰撞的理想落球实验。当 $n$ 足够大时，可用正态分布近似二项分布；$n$ 较小时，边缘概率不可忽略，正态近似误差较大。