多次测量平均法

适用条件

多次测量平均法适用于等精度测量，即对同一被测量、在相同测量条件下、用相同仪器与方法重复测量，各次测量结果的精度相同。它要求测量是的，即被测量在测量期间保持稳定，可以反复测量。

测量模型

设被测量的真值为 $A_0$，第 $i$ 次测量结果为 $x_i$，随机误差为 ${\delta }_i$，则

其中 $A_0$ 与 $x_i$、${\delta }_i$ 单位相同。随机误差 ${\delta }_i$ 是零均值的随机变量，即其数学期望 $E({\delta }_i)=0$，这是随机误差的基本统计特征。

平均值的构成

对 $n$ 次测量取算术平均：

式中 $\bar{x}$ 为 $n$ 次测量的算术平均值，$n$ 为测量次数。可见平均值等于真值加上随机误差的算术平均值。

削弱随机误差的原理

由辛钦大数定理，相互独立、同分布且数学期望有限的随机变量序列，其算术平均值依概率收敛于该期望值。将各次测量的随机误差 ${\delta }_i$ 视为这样的随机变量序列，其期望为零，因此当 $n$ 足够大时，

即随机误差的算术平均值依概率趋于零。于是

测量平均值依概率收敛于真值。这就是多次测量平均法削弱随机误差的依据：单次测量中的随机误差有正有负，取平均后相互抵消；当 $n$ 增大时，随机误差算术平均值依概率趋于零，即平均值偏离真值较大的可能性减小。但依概率收敛是极限意义下的结论，$n$ 有限时平均值仍含残余随机误差，并不保证每个具体样本的均值误差随 $n$ 单调减小。

适用范围与限度

该方法只对零均值的随机误差有效。若存在系统误差，取平均一般不能削弱它：对在各次测量中保持同一符号和数值的恒定系统误差，平均后仍然保留；对随测量条件或时间规律变化的系统误差，平均也不能保证消除，需另行识别和修正。此外，收敛是依概率意义下的，$n$ 有限时平均值仍含残余随机误差，只是其影响随 $n$ 增大而减小。