阻尼比

二阶传感器模型与阻尼比定义

二阶传感器的动态特性可用二阶微分方程描述，其通式为：

在零初始条件下，对两边取拉普拉斯变换，得到传递函数：

将其标准化为：

其中：

• $K=b_0\mathrm{/}{a}_0$ 为静态灵敏度（无量纲或由量纲决定）；
• ${\omega }_n=\sqrt{a_0\mathrm{/}{a}_2}$ 为固有角频率（单位：rad/s）；
• $\zeta =\frac{a_1}{2\sqrt{a_0{a}_2}}$ 为阻尼比（无量纲）。

阻尼比对系统响应的影响

根据ζ的取值，系统分为：

• $\zeta =0$：无阻尼，阶跃响应为等幅振荡；
• ：欠阻尼，阶跃响应为衰减振荡；
• $\zeta =1$：临界阻尼，阶跃响应单调上升无超调；
• $\zeta >1$：过阻尼，阶跃响应单调上升但更缓慢；
• ：系统发散。

阶跃响应与动态性能指标

欠阻尼（）时，单位阶跃响应为：

振荡角频率为 ${\omega }_d=\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_n$。
超调量 $\sigma$（峰值超出稳态值的百分比）仅与ζ有关：

由此可反求阻尼比：

峰值时间 $t_p$ 与 ${\omega }_n$、ζ的关系为：

因此，测得 $t_p$ 和 $\sigma$ 后，可先由 $\sigma$ 求ζ，再由 $t_p$ 求 ${\omega }_n$。

频率响应与参数选择

二阶传感器的幅频特性和相频特性分别为：

当 ${\omega }_n\gg \omega$ 时，$A(\omega )\approx K$，$\phi (\omega )\approx -2\zeta \frac{\omega }{{\omega }_n}$，相位与频率近似线性，可实现不失真测量。
为兼顾超调量和上升时间，通常选择 $\zeta =0.6\sim 0.8$（推荐0.6~0.7），此时幅频特性平坦部分最宽，相频特性最接近直线。

动态标定方法

通过实验获取ζ和 ${\omega }_n$：施加单位阶跃输入，记录输出波形，测量超调量 $\sigma$ 和峰值时间 $t_p$，利用上述公式计算ζ和 ${\omega }_n$，多次测量取平均值以提高精度。

相位计算须保留复数象限：一般用 $\phi =\mathrm{atan2}(H_{\mathrm{I}},H_{\mathrm{R}})$。上面的单参数反正切商式仅在实部为正的频段直接成立；对正增益二阶低通，低于固有角频率可直接取负反正切，等于该频率时相位为 $-\pi \mathrm{/}2$，高于时须选取连续的 $(-\pi ,-\pi \mathrm{/}2)$ 分支，不能遗漏象限修正。幅值增益的单位为输出单位与输入单位之比，只有同量纲或归一化时才是无量纲。