阶跃输入信号

阶跃输入信号的定义

阶跃输入信号是幅值在某一时刻发生突变的信号，其函数表达式为

式中 $A_0$ 为阶跃输入信号的幅值，$t$ 为时间。当 $A_0=1$ 时称为单位阶跃信号。阶跃信号在 $t=0$ 处不连续，它同时包含幅值信息和突变时刻信息，因此常被用作研究传感器时域动态特性的标准激励。

为什么用阶跃信号研究动态特性

传感器的动态特性是指传感器对动态激励（输入）的响应（输出）特性，即输出对随时间变化的输入量的响应特性。理想情况下输出应无失真地再现输入的时间函数，但实际传感器存在弹性、惯性或阻尼元件，输出不仅与输入 $x(t)$ 有关，还与输入的变化速度 $\mathrm{d}x\mathrm{/}\mathrm{d}t$、加速度 ${\mathrm{d}}^{2}x\mathrm{/}\mathrm{d}{t}^2$ 等有关，由此产生动态误差。

在时域内研究动态特性时，只研究几种特定输入时间函数，如阶跃函数、脉冲函数和斜坡函数；在频域内则采用正弦函数。阶跃信号之所以被选为标准激励，是因为它能在一次实验中同时激发系统的全部动态模态，响应曲线中包含了延迟时间、上升时间、响应时间、超调量等时域动态特性指标。

一阶传感器的单位阶跃响应

对于初始状态为零、静态增益 $K=1$ 的一阶传感器，其传递函数为

式中 $\tau$ 为时间常数，单位为秒（s）；$s$ 为拉普拉斯变量。单位阶跃输入的拉普拉斯变换为 $X(s)=1\mathrm{/}s$，因此输出为

对 $Y(s)$ 求拉普拉斯反变换，得到一阶传感器的单位阶跃响应

该响应从 $0$ 开始按指数规律上升，最终趋近于稳态值 $1$。在 $t=\tau$ 时刻，$y(\tau )=1-e^{-1}\approx 0.632$，即输出达到稳态值的 $63.2\mathrm{\%}$。在 $t=2\tau ,3\tau ,4\tau ,5\tau$ 时刻，输出分别约为稳态值的 $0.865,0.950,0.982,0.993$。工程上常将 $t=5\tau$ 视为进入稳态的时间。

二阶传感器的单位阶跃响应

对于初始状态为零、$K=1$ 的二阶传感器，其传递函数为

式中 ${\omega }_n$ 为固有频率，单位为弧度每秒（rad/s）；$\zeta$ 为阻尼比，无量纲。在欠阻尼情况（）下，单位阶跃响应为

该响应由稳态分量 $1$ 和衰减振荡分量组成。${\omega }_n$ 是时间 $t$ 的系数，决定系统的响应速度：${\omega }_n$ 越大，系统响应速度越快。$\zeta$ 决定振荡的衰减程度：$\zeta$ 越小，振荡越剧烈。

首峰时间与超调量

对二阶欠阻尼阶跃响应求导并令 $y^{\mathrm{\prime }}(t)=0$，可求得首个峰值出现的时间（峰值时间）

将 $t_p$ 代入 $y(t)$ 可得最大超调量

超调量 $\sigma$ 仅与阻尼比 $\zeta$ 相关，与 ${\omega }_n$ 无关。这一关系是动态标定的基础：由实测阶跃响应曲线读出超调量 $\sigma$，即可反求 $\zeta$；再由峰值时间 $t_p$ 和已求得的 $\zeta$ 反求 ${\omega }_n$。

适用范围与条件

上述一阶和二阶响应公式均以初始状态为零、静态增益 $K=1$ 为前提。若 $K\mathrm{\ne }1$，响应幅值需乘以 $K$。二阶响应公式适用于欠阻尼情况 ；当 $\zeta \ge 1$ 时系统不产生振荡，峰值时间和超调量的表达式不再适用。阶跃信号作为激励，其频谱包含丰富频率成分，因此一次阶跃实验即可同时反映传感器在时域和频域上的动态行为，是时域分析和动态标定的常用手段。