拉普拉斯变换与反变换

拉普拉斯变换与反变换

1. 定义

设函数 $f(t)$ 在 $t\ge 0$ 有定义，且积分

在复变量 $s=\sigma +j\omega$ 的某区域内收敛，则称 $F(s)$ 为 $f(t)$ 的拉普拉斯变换，记作

称 $f(t)$ 为原函数，$F(s)$ 为象函数。

由 $F(s)$ 求 $f(t)$ 的运算称为拉普拉斯反变换，记作

在工程中通常只关心 $t\ge 0$ 的响应，因此反变换结果常写为 $t\ge 0$ 的表达式。

2. 线性性质

若 $\mathcal{L}\{f_1(t)\}=F_1(s)$，$\mathcal{L}\{f_2(t)\}=F_2(s)$，且 $a,b$ 为常数，则

该性质说明拉普拉斯变换是线性运算，可逐项变换。

3. 微分性质

设 $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$，则一阶导数的拉普拉斯变换为

二阶导数为

一般地，$n$ 阶导数为

若系统在 $t=0^{-}$ 时处于零初始条件，即

则微分性质简化为

零初始条件下，微分方程两边取拉普拉斯变换后，微分运算变为乘以 $s$ 的代数运算，从而可把微分方程化为复变量 $s$ 的代数方程。

4. 常用信号变换对

单位冲激信号：

单位阶跃信号：

斜坡信号：

指数信号：

正弦信号：

余弦信号：

这些变换对常用于由象函数直接识别时域原函数。

5. 部分分式展开与反变换

若象函数为有理函数

其中 $A(s)$、$B(s)$ 为多项式，且 ，则可先对 $A(s)$ 因式分解，再将 $F(s)$ 展开为部分分式。

若 $A(s)$ 有互异实根 $-p_1,-p_2,\dots ,-p_n$，则

其中

由常用变换对

可得

若存在重根，例如 $A(s)$ 含因子 $(s+p{)}^r$，则部分分式应包含

对应反变换为

若 $A(s)$ 含共轭复根，可将其合并为二阶因式，例如

再结合正弦、余弦及指数衰减变换对求反变换。

6. 使用条件

拉普拉斯变换适用于满足积分收敛条件的函数。微分性质要求 $f(t)$ 及其各阶导数在 $t\ge 0$ 上分段连续，且在 $t=0^{-}$ 处有定义。零初始条件应用时，必须明确所有初始值为零，否则应保留初始值项。部分分式展开要求 $F(s)$ 为真有理函数；若为假有理函数，应先做多项式除法，分离出多项式部分后再对余项展开。