瞬态响应分析法

一、瞬态响应分析法的含义

瞬态响应分析法是在传感器输入端施加单位阶跃信号，观察并度量输出从初始状态过渡到稳态的时域过程，用响应曲线的特征量来评价传感器动态特性的方法。它适用于线性定常传感器，且分析前提是初始状态为零。

二、单位阶跃激励与拉普拉斯变换

单位阶跃信号的时域表达式为 x(t)=1（t≥0），其拉普拉斯变换为 X(s)=1/s。设传感器传递函数为 G(s)，则输出为 Y(s)=G(s)X(s)。在零初态、静态灵敏度 K=1 的条件下，一阶传感器 G(s)=1/(τs+1)，故
Y(s)=1/(τs+1)·(1/s)。
其中 τ 为时间常数，单位 s。

三、一阶传感器的单位阶跃响应

对 Y(s) 取拉普拉斯反变换，得
y(t)=1-e^{-t/τ}。
该式表明输出从 0 单调指数上升并趋近于稳态值 1。当 t=τ 时，y(τ)=1-e^{-1}≈0.632，即输出达到稳态值的 63.2%。课件给出的对应数值为：t=τ、2τ、3τ、4τ、5τ 时 y 分别为 0.632、0.865、0.950、0.982、0.993。可见 τ 越小，指数上升越快，响应越快。

四、二阶传感器的单位阶跃响应

零初态、K=1 的二阶传感器，其单位阶跃响应为
$y(t)=1-\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\sin (\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_{n}t+\arcsin \sqrt{1-{\zeta }^2})$。
式中 ζ 为阻尼比（无量纲），ωn 为固有角频率，单位 rad/s。ωn 是时间 t 的系数，决定响应速度：ωn 越大，系统响应越快。该式适用于欠阻尼情形（0<ζ<1），此时响应呈衰减振荡并最终趋于稳态值 1。

五、阶跃响应典型性能指标

• 超调量 σ：输出超过稳态值的最大值 ΔA 与稳态值 A 之比，σ=ΔA/A，常用百分数表示。
• 上升时间 tr：输出由稳态值的 10% 变化到 90% 所用的时间。
• 峰值时间 tp：响应曲线到达第一个峰值所需的时间。
• 响应时间 ts：从开始到输出进入稳态值规定的允许范围（图中为 ±5% 误差带）所需的时间。

六、适用范围与条件

上述一阶、二阶响应表达式均以零初态、K=1、单位阶跃输入为前提；二阶表达式针对欠阻尼（0<ζ<1）。性能指标中的 10%～90% 上升时间与 ±5% 误差带是课件图中所采用的约定，实际使用时应以所依据的约定为准。