线性时不变系统

线性时不变系统的含义

在工程测试实践中，大多数检测系统属于线性时不变系统，因此通常用线性时不变系统理论来描述传感器的动态特性。所谓线性，指系统满足叠加性；所谓时不变（定常），指微分方程的系数不随时间变化。从数学上，传感器输出量 $y(t)$ 与输入量 $x(t)$ 的关系可用常系数线性微分方程表示：

式中 $a_n,\cdots ,a_0$ 和 $b_m,\cdots ,b_0$ 是与系统敏感材料特性和结构参数有关的常数；$t$ 为时间，单位 s；$x(t)$ 为输入（激励），$y(t)$ 为输出（响应）。方程左端是输出及其各阶导数，右端是输入及其各阶导数。

常系数微分方程与装置的关系

方程中的系数 $a$、$b$ 仅取决于传感器装置本身的特性，即敏感材料特性和结构参数，与输入 $x(t)$ 无关。因此，传感器的输入-输出关系特性是传感器内部敏感材料特性和结构参数作用关系的外部特性表现。实际测量装置只是在特定范围内可视为常系数线性系统，超出该范围后线性假设不再成立。

叠加性

设 $x_1(t)\to y_1(t)$，$x_2(t)\to y_2(t)$，则

根据叠加性，当一个系统有 $N$ 个激励同时作用时，其响应等于这 $N$ 个激励单独作用的响应之和，即各个输入所引起的输出互不影响。因此分析时可将复杂激励信号分解成若干简单激励信号，再求它们的响应之和。

频率保持特性

当线性定常系统的输入为某一频率的简谐信号 $x(t)=X_0\sin (\omega t)$ 时，系统的稳态输出必定是与输入同频率的简谐信号，即 $y(t)=Y_0\sin (\omega t+{\phi }_0)$，但其幅值和初始相位可能发生变化。式中 $X_0$、$Y_0$ 为输入、输出幅值，$\omega$ 为角频率（单位 rad/s），${\phi }_0$ 为相位差。

两个性质的工程意义

当检测系统的输入信号是由多个信号叠加而成的复杂信号时，根据叠加性可把复杂信号的作用看成若干简单信号单独作用之和，从而简化问题。如果已知线性定常系统的输入为某一频率的简谐信号，根据频率保持特性，其稳态输出中只有与输入同频率的成分才可能是该输入信号引起的稳态响应；其他频率成分可能来自其他输入、瞬态响应或初态响应，也可能来自噪声干扰，因此可采用相应的滤波技术，在很强的噪声干扰下也能把有用信息提取出来。

适用范围

上述线性时不变模型成立的前提是：在限定范围内把实际测量装置视为常系数线性系统，即忽略非线性因素，并认为系数不随时间变化。一般可将大多数传感器简化为一阶或二阶系统进行动态特性分析。